1. 数学的学习过程犹如一场马拉松比赛。我们今天的课程，带领大家从另一个视角来探寻他们的美妙之处。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
我们先来做个小调查，经过这些年的数学学习，你们对数学有什么感受？抽象，神奇等等。那我们今天，希望带领大家探寻所学知识点背后的来龙去脉，了解了每一个问题所处的时代背景，就会明白每一个数学符号的背后，都有无数数学家的心血。这样也就不会感受到数学是枯燥的。
2. 我们今天围绕着微分和积分展开，具体而言微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
3. 首先，我们来看第一部分，这部分我们着重探讨三个问题。
4. 首先做个小调查
我们为什么要学习微积分呢？咱们小学和中学阶段学习的数学知识是不是已经够我们日常生活中用了？大家可以说说小学阶段都学习了哪些数学知识吗？对的，我们还是在算数的范围内，这是我们人类几万年的知识。中学阶段，我们学习了代数，字母表示数，一些初步的方程和函数，这是我们人类几千年的知识成果。
请大家看看这几个实际问题能不能用中学的知识解决呢？
(1) 求变速运动的瞬时速度，比如行星椭圆轨迹运行时的瞬时速度。我们回到求解瞬时速度的问题，大家说说我们可以通过什么方法求解呢？是不是让时间逐渐减小，那么这一过程就是称为取极限的过程
(2) 求曲线上的某个点的切线，比如望远镜设计时要确定透镜曲面的法线。而法向与切线垂直，因此先确定切线的方向。
(3) 求函数的最大、最小值，比如计算炮弹的最大射程。
那么这些涉及到描述变化和运动的问题，仅用我们学习过的算数和代数问题就无法解决了，微分（Differentiation）、积分（Integration）可以帮助我们理解和解决类似的问题。另外、微积分也为物理、化学、地理和金融提供了有用的研究工具。
5. 微分（Differentiation）、积分（Integration），这其中包含的具体思想有哪些？对的，极限思想和分解思想，当我们的时间取得很小，就可以计算相应的瞬时速度，这就用到了极限的思想。而计算曲边图形的面积时，我们将其分解为多个曲边梯形(trapezoid with curved edge)的面积之和，这就用到了分解和极限思想。
6. 我们看看，在实际生活中，是不是会用到微分（Differentiation）、积分（Integration）以及极限和分解思想（limit and decomposition thinking）呢？这里展示的是有限元软件模拟出了飞机飞行时，机翼的振动，汽车撞击实验和桥梁受载的情况。大家想想我们是如何用电脑去模拟飞机、汽车的真实运动环境呢？大家观察这些图，看看能够发现什么？
我们是用数量足够多的微元体，来逼近真实的飞机结构，以了解飞机、汽车、桥梁在受力过程中的承载性能。我们都可以借助这样的思想来研究，这会极大的节约成本，且可以优化结构性能。
7. 大家有想过如何准确模拟手机掉落在地上时的受力吗？同样根据前面的思想，用无穷多的单元去逼近手机和地面，在进行计算。手机摔落实验的模拟，左端为没有手机壳时，其受力情况，这些模拟背后是什么呢？是用足够多的网格近似逼近真实物体，当需要精细捕捉的地方，需要再次加细网格，如右图所示。即体现极限和分解思想（limit and decomposition thinking）。
8. 具体给大家一个例子，在需要精细描述的地方，我们可以按需要对网格进行不断地细分。
9. 大家都接触过现在很火且给我们生活带来很大便利的人工智能。想想这些算法中是否会用到微分（Differentiation）、积分（Integration）呢？
目前的人工智能更多是基于机器学习，其中很多算法都需要微积分这个工具。相关概念有凸优化、多元函数function of several variables、偏导Partial derivative、神经网络中反向传播使用的链式法则(chain rule)、用多项式逼近描述高阶导数的泰勒级数Taylor series、牛顿法、梯度下降法等等。当然这些内容就是和高阶微积分相关的知识。这也说明，为了更好的适应社会的发展，我们必须要把微积分学好。
10. 好的，有了上面的应用背景，大家是不是感受到学习calculus的迫切重要性。那么，接下来，我们进行微分（Differentiation）相关知识的学习。
11. 首先，咱们回想下课程开始的问题，如何计算瞬时速度。北京到上海的高铁，高铁到站后，车厢中，往往会显式当前列车的速度是多少。此时显示的为瞬时速度，但请大家仔细想想，速度等于路程除以时间，此时，列车是停在站台上的，路程是零，时间也是零，怎么还能算出来速度呢？
解决办法：引入无穷小量，在非常短时间内的路程。大家看看我们求平均速度的定义式和我们求解直线斜率的定义是不是一致？都是表示函数的变化量。
大家类比着上述思想讨论下，我们如何计算某一点处切线的斜率呢？或者说求解切线斜率和这里考虑的瞬时速度有什么相同之处呢？
12. 大家看到，我们由平均速度求瞬时速度，由割线的斜率求切线的斜率，这都归结于求改变量之比的极限。我们接下来给出这种形式的极限的一般定义。大家从我们这里的动图可以看出，导数的几何意义就是：用割线的斜率代替切线的斜率。
不知道大家之前是否接触过导数。我们看如何用定义计算函数的导数，这里给出一个简单的例子。大家自己根据导数的定义算一下，看是否存在问题？
这里，我们在提一下高阶导数，例如，二阶导数是求两次导数，就是对一阶导数在求一次导数
13. 当然，一些基本初等函数的导数经过计算是有通用公式的，我们不用每次计算都去推导一遍。这里就不详细推导了。
同时，我们也会遇到函数的和、差、积、商的导数，他们的公式也在这里。这都是可以通过严格证明得到的。
另外，关于复合函数求导数，这也是需要大家能够掌握的。这里有一个例子，大家可以试着算一下。我们将其拆分为基本初等函数逐层复合而成的函数。
我们做一个小练习，x^3的一阶导数和二阶导数分别是多少？
14. 函数的单调性和最值（Monotonicity of functions and ）。有一个边长为a的正方形板。 现在，从盘子的四个角上切下相同的小正方形，制成一个没有盖子的长方体容器。 为了使容积最大，截下的小正方形的边长为多少？
首先请大家根据问题描述，列出问题的式子。我们可以看到这时候得到的函数并不方便画出图像。那如何借助我们已有的数学工具来帮助我们呢？刚刚学到的导数能够帮助我们吗？我们回到导数的定义，来看看，导数能不能体现处函数的增减性呢？根据导数的意义，我们可以判断出取到极值的点。
具体而言，大家从导数的定义来看，当函数是一个增函数的时候，我们计算出的导数值是大于零的；而函数是减函数时，我们计算的导数值为负数。那么在导数为零的点，就会取到极大值和极小值。简言之，导数为零的点，可能是函数的最大值或者最小值点。
回到我们这里关心的问题，我们想要让体积达到最大值，
当然，这里要注意，我们需要用到乘法导数公式，或者直接展开各项求导，都可以。这里讲到的知识点，大家都理解了吗？
这时候，就体现了数学工具的强大性。当然，这里只是一个简单的例子。
15. 从本质上讲，人工智能的目标就是最优化：在复杂环境与多体交互中做出最优决策。几乎所有的人工智能问题最后都会归结为一个优化问题的求解，因而最优化理论同样是人工智能必备的基础知识。最优化理论（optimization）研究的问题是判定给定目标函数的最大值（最小值）是否存在，并找到令目标函数取到最大值（最小值）的数值。同样，我们要找到芯片上晶体管的最优排列数目，以保证他们发挥最大的性能。
扩展大家的视野，我们求极值，当问题可以用一元函数表示时，极值就是求一阶导数。而用多元函数表述时，极值就是梯度。梯度是关于各个方向求导数。当然，我们各种电子设备的芯片中晶体管数目如何排列，也属于最优化问题。
16. 问题：如果你驾车在一条限速为100公里/小时的公路上行驶，监控仪证明你在半个小时内跑了60公里，那么警察会给你开一张超速罚单吗？大家说说看自己的想法和这样想的原因，那如何用我们的数学知识来解决呢？
拉格朗日中值公式反映可导函数在[a,b]上整体平均变化率与在（a，b）内某点处函数的局部变化率的关系。若从力学角度看，公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度。因此；拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带。
因为平均速度120公里/小时，而根据中值定理平均速度等于某一内点处的瞬时速度，所以你在半个小时内的某一时刻一定是达到了120公里/小时〉100公里/小时，也就是超速了
17. 再给出一道计算题目。大家计算一下这道题目，大家可以将这道题目，看作我们上面的问题中，如何确定出你超速的那一时刻。看看是否有问题。
微分中值定理在研究函数性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式等方面都有应用。
18. 上一部分，我们学习了导数的概念和如何求函数的极值，以及中值定理的应用和计算。接下来，我们进入积分的学习。这部分分为四个小部分。积分的三种定义及其计算，变限积分的导数及其计算、微积分基本定理、旋转体体积的计算。
19. 大家都计算过很多面积，看图片中的例子，是不是都有相应的计算公式。针对规则的多边形，我们可以通过逐渐将其划分为三角形来计算。如果是边为曲线时，我们该如何计算呢？能不能找到类似简单图形的计算公式呢？大家有什么想法？可以互相讨论下。看看都可以想出哪些办法呢？
20. 同学提到了将图形划分，那我们来具体看看。
当划分的区间数逐渐增多时，就可以近似表示曲边梯形的面积了。我们来看一个具体的例子。区间为(0,a)，我们将区间等间距的划分为n等份。这时候，我们来划分矩形，每一个小矩形宽就是a/n，那高取哪一个端点的数值呢？所以我们可以将端点分为两类。
21. 计算出每一个小矩形的面积，再相加是不是就是我们需要的面积了，这里是分别以矩形的左端点对应的函数值为高。我们利用矩形面积的计算公式，可以得到。大家自己写一些，如果以矩形的右端点对应的函数值为高，此时面积是什么样呢？大家想一想，我们这两种计算方法计算的面积一样吗？
当然，这里只列出了两种情况。在计算每一个小矩形的面积时，我们还可以取小区间内任一点对应的函数值为高。当然计算中，要求大家会将区间划分为3-4个区间，分别以小区间左端点、中点和右端点对应的函数值为高，近似计算面积。
22. 大家计算计算一下这个例子，看看是不是理解了这里的概念。这里的左黎曼和，就是我们说到的用区间划分的左端点做函数的高。
23. 那么，计算曲边图形的面积，有没有一般公式呢？一般形式是什么样呢？如图所示。我们的积分号就是拉长了的求和符号s。这里符号的意思分别是积分上限，积分下限，和积分区间。大家想想，定积分的几何意义是什么呢？是不是相当于无穷多个矩形面积之和。我们最终计算的是什么？面积
24. 看到用定积分的定义求定积分是非常复杂的，有时候无法求出积分的精确值。根据定积分的几何意义(即求面积)，我们可以得到一些简单函数的积分值。这时候，我们来看微分和积分有什么关系。
那么积分上限是定值，如果是变化的函数，大家想想此时的面积是多少？如果面积变化时，依据定积分的几何意义，此时的积分是多少，再求导数又是多少呢？这就是微积分基本定理，
大家看看，对这个定理理解了吗？看看下面这个例子如何做
25. 我们来看看，导数和积分之间有什么关系，F函数是原函数，即F的导数是小f。看下这个例子。
26. 接下来，我们看看积分在几何中的应用。大家讨论下，花瓶内部体积如何计算
27. 如果一个平面绕着一条线旋转，所得到物体叫做旋转体。通过刚才的例子，大家可以发现旋转体都是由二维平面旋转得到的。我们看这里的示意图，如果曲线绕着x轴旋转，我们取出与x轴垂直的面，这个面可以看作圆，他的面积是 。将所有这些面积累加，就可以得到我们需要的旋转体的体积。大家试试看，这个简单的例子，如何计算。
28. 关于积分部分的介绍就是这样。接下来我们对所讲的内容进行简单的总结。
29. 我们主要关注微分和积分中的一些小知识点，希望能够引起大家对数学的兴趣。
29. 我们主要关注微分和积分中的一些小知识点，希望能够引起大家对数学的兴趣。
30. 莫比乌斯带也被用于工业制造。一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量
一张纸一定会有两个面吗？
实验1：任取一点，开始划线，旋转一周以后，会回到原点。
实验2：沿着刚刚画的中线剪开，不会剪短边界，反而会形成新的条带
实验3：沿着三分之一剪开
31.
时代在变，人工智能的发展不断挑战着人们对于传统学科的思考。然而，抛开知识点，良好的数学思维逻辑依然将是未来社会人才所必备的素质。
解题即建立联系。有人在解题的过程中，游刃有余，遇到障碍时，很容易找到克服障碍的工具或是找到绕过障碍的新路；有人却显得寸步维艰，一筹莫展。造成如此大区别的原因很多，有无足够的数学知识是一个基本的原因。波利亚有一名言: 丰富而有条理的知识储备是解题者的至宝。
你若想成为一名高手，就应该尽量广泛地吸收已有的数学知识，经常地总结整理。这样，在与具体问题进行“搏杀”时，随时都能拿出有针对性的法宝，克敌制胜。
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混知
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leettin1979
3
3
梯度，势，场，保守场。
07-08 03:01
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历史中的未来[作者]：嗯呢，在大学或者研究生阶段，这些都是非常重要的，不过这些对高中生稍有复杂
吕旷wLeM：对,就是势场,我把他和场的关系搞混了
全部4条评论
望秋月2010
1
1
数学太抽象太难学了，压根没有几个人能学好数学。对于90%以上的人来说，终其一生所用到的数学知识不会超过小学三年级
43分钟前
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历史中的未来[作者]：的确是
许嘉欣Gx
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转发了
9小时前
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枝桠3l
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知识少看不了。
13分钟前
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校尉鞋垫036
1
1
垂直x轴也可能是半圆
12小时前
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