一点思考

1.联想的法则

人类的大脑是一个复杂而精妙的器官，然而某种程度上，人类的大脑也是一个愚蠢的器官。如果你总结过你解过的一些有意义的好题目，你会发现它们有一个共同点：没有用到你不知道的知识，然而那个最关键的、 攸关成败的知识点你就是想不到。所以你不禁要问，为 什么明明这个知识在我脑子里（也就是说，明明我是“能够”解决这个问题的），但我就是没法想到它呢？“你是怎么想到的？”这是问题解决者最常问的一个问题。甚至对于熟练的解题者来说，这个问题的答案也并不总是 很明确的，很可能他们自己也不清楚那个关键的想法是 怎么“蹦”出来的。我们在思考一个问题的时候，自己能意识到的思维部分似乎是很少的，绝大多数时候我们能感知到的就是一个一个的转折点在意识层面显现，我 们的意识就像一条不连续的线，在其上的每一段之间那 个空档内发生了什么我们一无所知，往往我们发现被卡 在一个地方，我们苦思冥想，然后一个知识（也许是一个性质，也许是一个定理）从脑子里冒了出来，或者说， 被我们意识到，然后我们沿着这条路走一段，然后又卡住，然后又等待一个新的关键知识的出现。而至于这些知识是怎么冒出来的？我们可以对它们的“冒出来”提供怎样的帮助？我们可以在意识层面做一些工作，帮助我们的下意识联想到更多重要的知识吗？那些灵光一现 的瞬间，难道只能等待它们的出现？难道我们不能通过一些系统化的步骤去“捕获”或“生成”它们？又或者 我们能不能至少做些什么工作以使得它们更容易发生 呢？

正如金出武雄在《像外行一样思考，像专家一样实践》中所说的，人类的灵感一定是有规律的，认知科学目前至少已经确认了人类思维的整个物质基础——神经元。而既然它们是物质，自然要遵循物质的运行规律。 只不过我们目前还没有窥破它们，但至少我们可以确信的是，它们在那里。事实上，不需要借助于认知科学， 单单是通过对我们自己思维过程的自我观察，也许就已经能够总结出一些重要的规律了，也许，对自身思维过程的反观真的是人有别于其它动物的本质区别。

《专注力》当中有这样一个例子：一天夜里，你被外面的吵闹声叫醒了，你出去一看，发现有一群人，其中有一个人开着很名贵的轿车，他跟你说他们正在玩一个叫“拾荒者”的游戏，由于一些原因，他必须要赢这个游戏，现在他需要一块 1.5m*1m 的木板，如果你能帮忙的话，愿以一万美元酬报。你怎么办？被测试的大 多数人都没有想到，只要把门拆给他就可以了（如果你想到了，祝贺你:-)），也许你会说现在的门都是钢的，没关系，那你有没有想到床板、立柜的门、大桌子的桌面 之类的？这个问题测试的就是心理学上所谓的“范畴陷 阱”，“木板”这个名词在你脑子里的概念中如果是指“那 些没有加工的，也许放在木材厂门口的，作为原材料的 木板”的话，那么“木板”就会迅速在你的下意识里面 建立起一个搜索范畴，你也会迅速的反应到“这深更半夜叫我上哪去找木板呢？”如果你一下就想到了，那么很大的可能性是“木板”这个概念在你脑子里的范畴更大，更抽象，也许包含了所有“木质的、板状的东西”。

这就是联想的法则。

我们的大脑无时无刻不在对事物进行归类，实际上，不仅是事物，一切知识，都在被自动的归类。在有关对世界的认知方面，被称为认知图式，我们根据既有的知识结构来理解这个世界，会带来很大的优势。实际上， 模块化是一个重要的降低复杂性的手段。然而，知识是 一把双刃剑，一方面，它们提供给了我们解决问题的无以伦比的捷径优势，“砖头是砌墙的”，于是我们遇到砌墙这个问题的时候就可以迅速利用砖头。然而另一方面， 知识却也是思维的桎梏。思维定势就是指下意识遵循有知识框架思考的过程。上面的那个木板的例子也是思 维定势的例子。每一个知识都是一个优势，同时又是一个束缚。著名的科幻作家阿瑟·克拉克有一句名言：如果 一位德高望重的老科学家说某个事情是不可能的，那么 他很可能是错的。所以，如何在获取知识优势的同时， 防止被知识束缚住，是一门技术。

掌握这门技术的钥匙，就是抽象。在吸收知识的时候进行抽象，同时在面对需要用到知识的新问题时也要对问题进行抽象。就以大家都知道的“砖头”有多少 用途为例，据说这道题目是用于测试人的发散思维的，能联想到的用途越多，思维定势就越小。实际上，借助于抽象这个利器，这类题目（乃至更广的一类问题）是可以系统性的进行求解的，我们只需对砖头从各个属性维度进行抽象。譬如，砖头是——长方形的（长方形的 东西有什么用途？还有哪些东西也是长方形的，它们都 有什么用途？）、有棱角的（问题同上）、坚硬的、固体、 有一定大小的体积的、红色的、边界线条平直的、有一 定重量的…对于每一个抽象，我们不妨联想还有其他什 么物体也是具有同样抽象性质的，它们具有同样的用途 吗？当然，除了抽象之外，还有“修改”，我们可以在各 个维度上对砖头的属性进行调整，以期得到新的属性： 譬如大小可以调整、固体可以调整为碎末、棱角可以打 磨、重量也可以调整、形状也可以调整…然后看看新的属性可以如何联想开去。

除了这个简单的例子之外，我们也不妨看一看一些算法上的例子，同样一个算法，不同的人来理解，也许你脑子里记得的是某个特定的巧妙技巧（也许这个技巧 在题目的某步关键的地方出现，从而带来了最令人意外的转折点），然而另一人个记得得也许是“递归”这种手法，还有另外一个人记得的也许是“分治”这种更一般化的解题思路。从不同的抽象层面去掌握这道题目的知识信息，以后遇到类似的问题，你能够想起这道题所提 供的知识的可能性是有极大的差异的。《Psychology o f Problem Solving》的第 11 章举了这样一个例子：先让被试（皆为大学生）阅读一段军事材料，这个材料是 说一小撮军队如何通过同时从几个不同方向小规模攻击 来击溃一个防守严实的军事堡垒的。事实上这个例子的本质是对一个点的同时的弱攻击能够集聚成强大的力 量。然后被试被要求解决一个问题：一个医生想要用 X 射线杀死一个恶性肿瘤，这个肿瘤只可以通过高强度的 X 射线杀死，然而那样的话就会伤及周围的良好组织。医生应该怎么办呢？在没有给出先前的军队的例子的被试 中只有 10%想到答案，这是控制基线。然后，在先前学 习了军队例子的被试中，这个比例也仅仅只增加到 30%， 也就是说只有额外 20%的人“自动”地将知识进行了转 移。最后一组是在提醒之下做的，达到了 75%，即比“自动”转移组增加了 45%之多。这个例子说明，知识的表象细节会迷惑我们的眼睛，阻碍我们对知识的运用，在 这个例子中是阻碍问题之间的类比。

而抽象，则正是对非本质细节去枝减叶的过程，抽象是我们在掌握知识和解决问题时候的一把有力的奥卡姆剃刀。所以，无论是在解题还是在学习的过程中，问自己一个问题“我是不是已经掌握了这个知识最深刻最本质的东西”是非常有益的。2.4情景与知识提取

2.知识，知识

如果你是一个熟练的解题者，你也许会发现，除了一些非常一般性的、本质的思维法则之外，将不同“能力”的解题者区分开来的，实际上还是知识。知识是解题过程中的罗塞塔碑石。一道几何题为什么欧几里德能够做出来我们不能，是因为欧几里德比我们所有人都更了解几何图形有哪些性质，借助于一个性质，他很容易 就能抵达问题的彼岸；反之，对于不知道某个性质的我 们，倒过来试图“发现”需要这样的性质有时几乎是不可能的。有人说数学是在黑暗中摸索的学科，是有道理 的。并不是所有的问题都能够通过演绎、归纳、类比等手法解出来的。这方面，费马大定理就是一个绝好的例 子，《费马大定理：一个困惑了世间智者 358 年的谜》一 书描述了费马大定理从诞生到被解决的整个过程，事实上，通过对费马大定理本身的考察，几乎是毫无希望解 决这个问题的，我们根本不能推导出“好，这里我只需要这样一个性质，就可以解决它了”，也许大多数时候我 们可以，但那或者是因为我们有已知的知识，或者这样 的归约很显然。而对于一些致命的问题，譬如费马大定 理，最重要的归约却是由别人在根本不是为了解决费马大定理的过程中得出来的。运气好的话，我们在既有的知识系统中会有这样的定理可以用于归约，运气不好的 话，就得去摸索了。

所幸的是，绝大多数问题并不像费马大定理这样难以解决。而且绝大多数问题需要用到的知识，在现有的知识系统里面都是存在的。我们只要掌握得足够好，就 有希望联想起来，并用于解题。

当然，也有许多题目，求解它们的那个关键的知识 可以通过考察题目本身蕴涵的条件来获得，这类题目就是测试思维本身的能力的好题目了。而如果这个性质根 本无法通过对题目本身的考察得出来，那么这个题目测 试的就是知识储备以及联想能力。

3.好题目、坏题目

在我看来，好题目即测试一个人思维的习惯的题目（因为知识性的东西是更容易弥补的，尤其是在这样一 个年代；而好习惯不是一朝一夕养成的），它应有这样一 些性质：
•不需要用到未知的知识，或者

•需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通 过对题目的分析自行发现这些所需的知识。

•考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的 解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通 过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质， 而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目 的考察中得出来的。

•考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、 演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落 巢臼的能力）。

•考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过 试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过 来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加 等等）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的 联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。

•好题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim 问题（还有简单版本的取火柴问题）（烙 饼排序问题和 Nim 问题可参见《编程之美》）、9 公升 4 公升水桶倒 6 公升水的问题（考察倒过来思考问题的能
力）、9 点连线问题、6 根火柴搭出 4 个面的问题、“木板” 问题（考察思维定势，此外《心理学与生活》的第九章 也有好几个经典的问题）、许多数论问题（观察能力、演 绎能力、归纳能力）。此外，我们最近也在讨论好题目。

而坏题目呢：

•好题目各有各的好，坏题目都是相似的。

•坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair question s，什么是 unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的 楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上 回来之后却最多只能坐到一半高度的楼层，剩下一半只 能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据 说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得 出来，只可能某天我们碰巧遇到类似的场景也许才能想 到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理 学上的事后偏见——一旦知道结果之后，所有指向结果 的证据看上去都那么显然和充分，而同时所有反结果的 证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要 想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说“只要考虑 一下电梯的按钮面板就会发现了”，或者“看到下雨，那 还不想到带伞么？”，然而这只是事后的合情推断。在不 知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会 成为问题的解释，除非某天我们碰到类似的问题，否则 大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高 之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男 人女人、什么牌子的电梯、大厦是哪种大厦？这些因素 重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的 时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的 人可能从任何一个微小的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒 吧，问酒保要一杯水，酒保掏出一只枪，拉上扳机；这 人说声“谢谢”，走了出去。这些题目固然有趣，但几乎没有价值。

•值得注意的是，这样的问题跟著名的 9 点连线问题和 6 根火柴搭出 4 个面的问题（还有《如何解题：现代 启发式方法》里面那个经典的“小球在盒内碰撞何时回 到原轨迹”的问题）不同，后者的条件都在眼前，并且 解的搜索空间无论如何很小，就看思维能不能突破某一 个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联 想。9 点问题实际上是可以系统化思考解决的，但 unfai r question 则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一 个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的 信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起来也不 足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题 人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。
•最后，发散性思维其实是可以系统化的，参见前文

联想的规则”。
出题的误区：
最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过 题目本身到达这个性质的，那这就属于知识性的题目。

虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理或性 质并不那么 trivial 的时候。

一个最好的题目就是问题明明白白，而且最终的解 也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，取决于 你会不会思考一个问题（参见“好问题”）。譬如烙饼问 题和 Nim 问题，还有许许多多问题简洁明确但很锻炼思 考的算法问题。

4.一个好习惯
在解题的过程中，除了必要条件——知识储备——之外，对于一些并不涉及什么你不知道的定理的题，很 大程度上就要看思维能力或者习惯了。而在思考一个问 题的时候，最容易犯的一类错误就是忘了考虑某种可能性，不管这种可能性是另一种做法（譬如只顾着构造一 个能一步得出结果的算法，没记得还可以从错误情况逼近。譬如只顾着正着推导，却忘了可以反过来推。只顾着反过来推，居然忘了可以考察简单特例。试了各种手 法，却发现忘了考虑题目的某个条件。觉得试遍了所有 可能性，已经走不下去了，然后其实在思维的早些时候 就已经落入了思维陷阱。等等）事实上，即便是一个熟 练的解题者也容易犯顾此失彼的问题，因为我们一旦意 识到一个看似能够得到结论的解法，整个注意力就容易 被吸引过去，而由于推导的路径是很长的，所以很容易 在一条路上走到黑，试图再往下走一步就得出解。却忘 了回过头来看看再更高的层面上还有没有其它手法，思 路上有没有其他可能性。

而对于像我这样目前尚不谙熟所有思维方法的人来说，则更容易犯这样的错误。为了避免这样的错误，一个有效的办法就是将自己的思考过程（中的重要环节） 清晰的写在纸上（称为“看得见的思考”），这有如下几 个好处：

•人在思考一个问题的时候，就像是在黑暗中打着电筒往前走（事实上，我们的工作记忆资源是有限的，有 研究证明我们只能在工作记忆里面持有 7 加减 2 个项目； 此外认知负荷也是有极限的），每一步推导，每一步逻辑 或猜测都将我们往前挪一步，然而电筒的光亮能找到的 范围是有限的，我们走了几步发现后面又黑了。有时候， 我们是如此努力地试图一下就走出很远，同时又老是怕 忘记目前已经取得的进展和重要结论，结果意识的微光 就在一个很小的范围内打转，始终无法往前走出很远。 而将思维过程记录下来，则给了我们完全的回顾机会。 如果你是经常做笔记的人，你肯定会发现，有时候一个 在脑子里觉得两句话就能说完不需要记下来的东西，一 旦开始往纸上写下来，你就自然而然能得出更多的结论 和东西，越写越多，最终关于你的问题的所有方面都被推导出来展现在你面前。

•思考问题时的注意力是自上而下控制大脑的神经处理过程的，当我们集中注意力在某一个过程上时，其它的过程就会受到抑制。我们平常都遇到过一些时候， 由于集中注意力从而忽略了周围发生的事情的时候（处 理环境输入的神经回路受到抑制）。所以，当我们竭尽全力将一些非常重要的因素控制在工作记忆里面的时候， 实际上很大程度上抑制了其余的思考——可以想见如果科比在跳投的瞬间集中注意力思考跳投的各种技术要素 的话会发生怎样的灾难。此外，这么做还占用了宝贵的 工作记忆空间，从这个意义上，借助于纸笔，将思考的东西写下来实际上就是扩充了我们的工作记忆，增大了思维的缓存。注意，这倒不是说思考问题不需要集中注意力，而是说由于将项目维持在工作记忆中需要很大的 认知精力，使得我们的注意力无法暂时移开去思考其它 相关的子问题，而写到纸上的话我们就减轻了工作记忆 的负担，可以转移注意力去集中思考某个子问题；同时 我们又可以随时回过头来，重新将以前想过的结论装入记忆（内存），完全不用费心去阻止它们被我们的工作记忆遗忘。

•一句话从嘴里说出来，或者写到纸上，被视觉或听觉模块接收，再认知；跟在心里默念所产生的神经兴奋 程度是不一样的。我们都有过这样的经历：一句令人不 愉快的话，我们心里清楚，但就是不愿意自己也不愿意 别人从嘴里说出来。同样，将思考的过程写到纸上，能 够激起潜在的更多的联想。为什么会这样的另一个可能 的原因是我们大脑中思维过程的呈现形式和纸上的表现 形式是不一样的，既没有那么严格、详细也没有那么多 的符号（如数学符号）——再一次，工作记忆资源是很 有限的——而后者，作为视觉线索，可能激起更多对既 有知识的回忆。

•我们在思考问题的过程中容易落入思维定势，不知 不觉就走上来某条“绝大部分时候是如此”的思维捷径， 对于一些问题而言这固然能够让我们快速得到解，但对 于另一些问题而言却是致命的。我们容易在逻辑的路径上引入想当然的假设，从而排除某种不该排除的可能性
或做法。通过将思路过程写到纸上，我们便能够回头细 细考察自己的思考过程，觉察到什么地方犯了想当然的 毛病。

•我们在思维过程中的每一个关键的一步也许都有 另一种可能性，一个问题越复杂，需要推导的步骤就越多，我们就越容易忽视过程中的其它可能性，容易一条 路走到黑。而将思维过程写下来，在走不下去的时候可 以回过头看看，也许会发现另一种可能性，另一条“少 有人走的路”。

•最后，通过将思维过程写下来，我们就能够在解题完毕之后完整的回顾自己的整个思维过程，并从中再次 体悟那些关键的想法背后所发生的心理活动过程，总结思考中的重要的一般原则，分析思维薄弱的环节，等等。 就算是最终发现并没有到达结果的无效思路，也未必就 没有意义，因为不是因为错误的思路，也不会知道正确 的思路，况且对一道题目用不上的思路，对其它题目未必用不上。通过对自己思维过程的彻底反思，就能从每次解题中获得最多的收获。

5.练习，练习

本质上，练习并不产生新能力。然而练习最重要的 一个作用就是将外显记忆转化为内隐记忆。用大白话来 说就是将平时需要用脑子去想（参与）的东西转化为内在的习惯。譬如我们一开始学骑自行车的时候需要不断 提醒自己注意平衡，但随着不断的联系，这种技能就内 化成了所谓的程序式记忆（内隐记忆的一种），从而就算 你一边骑车一边进行解题这样需要消耗大量脑力的活 动，也无需担心失去平衡（不过撞树是完全可能的，但 那是另一回事）。

同样，对于解题中的思维方法来说，不断练习这些 思维方法就能做到无意识间就能运用自如，大大降低了 意识的负担和加快了解题速度。

不过，并非所有的练习方法都是等效的，有些练习 方法肯定要比另一些更有效率。譬如就解题来说，解题是一项涉及到人类最高级思维机制的活动，其中尤其是推理（归纳和演绎）和联想。而后者中又尤数联想是最麻烦的，前面提到，绝大多数时候启发式方法实质上都 是在为联想服务——为了能像晃筛子那样把你脑袋里那 个关键的相关知识抖落出来。并且，为了方便以后能够 联想，在当初吸收知识的时候就需要做最恰当的加工才 行，譬如前面提到的“抽象”加工，除此之外还有将知识与既有的知识框架整合，建立最多的思维连接点（或 者说“钩子”）。对于知识的深浅加工所带来的影响，《找 寻逝去的自我》里面有精彩的介绍（里面也提到了提取 线索对回忆的影响——从该意义上来说运用启发式思维 方法来辅助联想，其实就是进行策略性记忆提取的过 程）。最后，人类的无意识思维天生有着各种各样的坏习 惯，譬如前面提到的范畴陷阱就是创新思维的杀手，譬 如根据表面相似性进行类比也是知识转移的一大障碍。 更遑论各种各样的思维捷径了（我们平常进行的绝大多 数思考和决策，都是通过认知捷径来进行的）。所以说， 如果任由我们天生的思维方式发展，也许永远都避不开无意识中的那些陷阱，好在我们除了无意识之外还多出
了一层监督机制——意识。通过不断反省思维本身，时 时纠正不正确的思考方式，我们就能够对其进行淬炼， 最终养成良好的思维习惯。反之被动的练习虽然也能熟 能生巧，但势必花的时间更多，而且对于涉及复杂的思 维机制的解题活动来说，远远不是通过钱眼往油壶里面 倒油这样简单的活动所能类比的，倒油不像思维活动那 样有形形色色的陷阱，倒油不需要联想和推理，倒油甚 至几乎完全不需要意识的辅助性参与，除了集中注意力
（而解题活动就算对于极其熟练的人来说也不断需要大 量的意识参与）。所以对于前者，良好的思维习惯至关重 要，而反省加上运用正确的思维方法则是最终养成良好 思维习惯的途径。

练习还有另外一个很重要的作用，就是增加领域知识（关于知识在问题解决中的作用，前面已经提到过）。 我们看到很多人，拿到一道题目立即脑子里就反应出解 法，这个反应快到他自己都不能意识到背后有什么逻辑。 这是因为既有的知识（我们常说的“无他，实在是题做
得太多了”）起到了极大的作用，通过对题目中几个关键元素或结构的感知，大脑中的相关知识迅速被自动提取出来。而对于知道但不熟悉相应知识（譬如很早我们就 知道归纳法，但是很久以后我们才真正能够做到面对任 何一道可能用归纳法的题目就立即能够想到运用归纳 法），或者干脆就不知道该知识的人来说，就需要通过启 发法来辅助联想或探索了。后者可以一定程度上代偿对 知识的不够熟悉，但在一些时候知识的缺失则是致命的（参见上面第 2 点）。不过要注意的是，那种看到题目直 接反应出答案的或许也不是纯粹的好事，因为这样的解题过程严重依赖于既有知识，尤其是做过的类似的题目， 其思维过程绝大部分运用的是联想或类比，而非演绎或 归纳。更重要的是，联想也分两种，被动联想和策略性 联想（参考《找寻逝去的自我》），这里用的却是被动联 想。所以，能直接反应出答案并不代表遇到真正新颖的 题目的时候的解决能力，后者由于不依赖于既有领域知 识，就真正需要看一个人的思维能力和习惯究竟如何了。

6.启发法的局限性
首先肯定的是，启发法一定（也许很大）程度上是可以代偿知识的不足的（这里的知识主要是指大脑中的 “联系”，下面还会提到另一种知识，即 hard knowled ge）。譬如，一道题目，别人直接就能通过类比联想到某道解过的题目，并直接使用了其中的一个关键的性质把 题目给解出来了。你并没有做过那道题目，这导致两种 可能的结果：一，你就是不知道那个性质。二，你虽然 “知道”那个性质，但并没有在以前的解题经历中将那 个性质跟你手头的这个问题中的“线索”联系起来，所 以你还是“想不到”。后一种可以称为 soft knowledge， 即你“知道”，但就是联想（联系）不起来。所谓不能活 学活用，某些时候就是这种情况，即书本上提供什么样 的知识联系，脑子里也记住什么，而没有事后更广泛地 去探索知识之间的本质联系（总结的作用）。前一种则可 以称为 hard knowledge，即你就是不知道，它不在你 的脑子里。

而启发式方法在两个层面上起作用：
•辅助联想起 soft knowledge：譬如，特例法是一种启发式思考方法，它通过引入一个简单的特例，特例中往往蕴含有更多的“线索”，通过这些线索，有可能就 会激发起对既有的知识的联想。另外一种强大的辅助联想办法就是对题目进行变形，变形之后就产生了新的视 觉和语意线索，比如式子的对称性、从直角坐标到极坐 标从而引发对后者的知识的联想等等。大量的启发式方 法实际上的作用就是辅助联想，通过对题目中的线索的 发掘，激起大脑中已知相关知识的浮现。在这个意义上， 相对于那些能够直接联想到某个性质的人，那些不知道 但可以通过启发式思维联想到的，启发式思维就提供了 一种“曲径通幽”的策略性联想。还是以经典的例子来 说：砖头的用途。有人立即能够直接联想到“敲人”。有 人也许不能。然而启发式联想策略“抽象”就能够帮助 后者也能够联想到“敲人”，因为“抽象”策略启发人去 考虑砖头的各个性质维度，如“质地”，“形状”，当你考 察到“质地坚硬”，“棱角”，离“敲人”的功能还会远么？ 本质上，能够直接联想到“敲人”功能的人是因为大脑
中从砖头到敲人这两个概念之间的神经通路被走过了很
多遍（譬如由于经常拿砖头敲人），神经元之间的联系相 当“粗”（形象的说法，严格的事实请参考《追寻记忆的 痕迹》），而不经常拿砖头敲人的人呢，这个联系就非常 的弱，乃至于根本激不起一次神经冲动。那么为什么通 过启发式方法又能联想到呢？因为启发式方法相当于带 入了一种新的神经调控回路，首先它增加你联系到砖头 的属性维度上的可能性，使得“质地坚硬”、“棱角”这 两个语意概念被激活起来（注意，如果没有启发式方法 的参与，这是不会发生的），一旦后者被激活起来，从后 者到“敲人”的联系就被激活起来了。从本质上，解题 中的启发联想方法做的也就是这个工作。而越是一般性 的启发式方法就越是能对广泛的问题有帮助（譬如《Ho w to Solve It》中介绍的那些，譬如分类讨论、分治、 乃至我认为很重要的一个——写下自己的思维过程，详 细分解各个环节，考察思维路径中有无其它可能性（我 们很容易拿到一道题目便被一种冲动带入到某一条特定 的思路当中，并且遵循着“最可能的”推导路径往下走，
往往不自觉的忽略其它可能性，于是那些可能性上的联
想就被我们的注意力“抑制”了。））。

•辅助探索出 hard knowledge：倒推法是一种启发 式思考方法，它将你的注意力集中到问题的结论中蕴含 的知识上，一旦你开始关注可能从结论中演绎出来的知 识，你就可能得到 hard knowledge，即并不是早先就 存在你脑子里，但是可以通过演绎获得的。上文中的最 小和子序列中的倒推方法就是一个例子。

而启发式方法的局限性也存在于这两个方面：

•有些联系是不管怎样“启发”也想不起来的。譬如 “当布被刺破了，干草堆就重要了”，你怎么解释这句 话？如果有人提示一下“降落伞”，每个人都会恍然大悟。 这是因为从“布”到“降落伞”之间的单向联系是近乎不存在的。而且就算运用启发法，譬如，考虑所有布做 的东西，也基本绝无可能想到降落伞，因为同样，从“布 做的东西”到“降落伞”之间的关联也是极其微弱的。 我们脑子里只能保留那些最最重要的联系。（如果一提到布，“降落伞”和“衣服”、“被单”、“窗帘”等日常物品以同等重要级别闪现，就乱套了。）那为什么从降落伞我们能想到布呢？我们实际上不能，我们为什么有些时候 能，是因为譬如有人叫你“考虑降落伞的材料”，后者就激发了“降落伞之材料”这个语意，后者又指导了我们 去考察降落伞的材料构成，于是我们想到是布。否则“布” 是不会直接被激发起来的。那为什么在我们的这个问题 中，一旦有人提到降落伞，我们就能建立从布到降落伞 的关联呢？这是因为“降落伞”和“布”这两个语意单元的同时兴奋增大了它们之间关联的可能性，就好比是加大另一端的电压从而发生了“击穿”一样。从本质上， 解数学题也是如此，费马大定理的求解过程是一个很好的例子，谷山志村猜想，就相当于那个“降落伞”的提 示。我们还听到很多这样的故事（或者自己经历）：苦思 冥想一个问题不得要领，某一天在路上走，看到某个东 西或听到某句话，然后忽然，一道闪电划破长空，那个 问题解开了（阿基米德是因为躺在浴缸里从而想到浮力 原理的吗？）。我敢保证，如果一个人早就把那个问题从脑海里扔到九霄云外去了（不再处于兴奋状态了），那么
就算线索出现，也是不可能发生顿悟的。我们都知道， 带着一个问题（使其在大脑中处于兴奋状态）去寻找答案更可能找到，即便不是有意去寻找，只要问题还在脑 子里，任何周围的有可能与它相关的线索都不会被大脑 漏掉，因为“问题”和“周围的其他线索”同时的兴奋 增大了关联的可能性。如果问题早就被从大脑（意识或 者潜意识）中撤下了，即便周围出现提示也不会被捕捉 到。

•许多 hard knowledge 是不能被启发探索出来的。 至少是不能被“直接命中目标”地探索出来的。一个问题有可能跟三角函数有关，也许你只能带着问题去探索 三角函数的所有性质，从而最终发现那个关键的性质。 费马大定理与椭圆方程有关，也许只能去探索椭圆方程 的所有性质，这个过程一定程度上是盲目的，试错的， 遍历的。而不是直接面向目标的。再聪明的人也无法从 费马大定理直接反推到谷山志村猜想。在这些时候，启 发式方法最多只能提供一个探索的大致方向：譬如，探索三角函数的性质，并随时注意其中哪个可能对我这个
问题有帮助。譬如，探索模运算的性质，看看哪些性质 可能会有用。譬如，探索椭圆曲线的性质…等等。启发 式方法并不能使我们的探索精准地命中目标。而只能划 定一个大致的范围。也难怪有人说数学是盲目的。

但话说回来，启发式方法的局限性并不能否认在大 量场合启发式方法的巨大帮助，许多时候，单靠启发式 方法就能带来突破。而且，一旦知识性的东西掌握的是 一样多的，能否运用更优秀的思维方法就决定了能力的 高下。有很多介绍思维方法的书。

7.总结的意义
解题练习的最重要目的不是将特定的题目解出来，而是在于反思解题过程中的一般性的，跨问题的思维法则。简单的将题目解出来（或者解不出来看答案，然后 “恍然大悟”），只能得到最少的东西，解出来固然能够强化导致解出来的那个思维过程和方法，但缺少反思的 话便不能抽取出一般性的东西供更多的题目所用。而解不出来，看答案然后“哦”的一声更是等同于没有收获， 因为“理解”和“运用”相差何止十万八千里。每个人都有过这样的经历：一道题目苦思冥想不得要领，经某 个人一指点其中的关键一步，顿时恍然大悟——这是理 解。但这个理解是因为别人已经将新的知识（那个关键 的一步）放到你脑子里了，故而你才能理解。而要运用的话，则需要自己去想出那关键的一步。因此，去揣测和总结别人的思维是如何触及那关键的一步，而你自己 的思维又为什么触及不到它，有一些一般性的原则可以 指导你下次也能想到那个“关键的一步”吗，是很有意 义的。我们很多时候会发现，一道题目，解不出来，最 终在提示下面解出来之后，发现其中并没有用到任何自

己不知道的知识，那么不仅就要问，既然那个知识是在 脑子里的，为什么我们当时愣是提取不出来呢？而为什 么别人又能够提取出来呢？我怎么才能像别人那样也提 取出相应的知识呢？实际上这涉及到关于记忆的最深刻 的原理，实际上文中已经提到了一些。（有兴趣的建议参 考以下几本书：《追寻记忆的痕迹》，《找寻逝去的自我》，
《Synaptic Self》，《Psychology of Problem Sol vin g》）一般性的思维法则除了对于辅助联想（起关键的知 识）之外，另一个作用就是辅助演绎/归纳（助探），一 开始学解题的时候，我们基本上是先读懂题目条件，做 可能的一些显然的演绎。如果还没推到答案的话，基本 就只能愣在那里等着那个关键的步骤从脑子里冒出来 了。

而所谓的启发式思维方法，就是在这个时候可以运 用一些一般性的，所有题目都适用的探索手法，进一步 去探索问题中蕴含的知识，从而增大成功解题的可能性。 启发式的思维方法有很多，从一般到特殊，最具一般性 的，在波利亚的《How to Solve It》中已经基本全部都 介绍了。一些更为特殊性的（譬如“如果全局搜索空间 没有递归结构，那么考虑分割搜索空间”，譬如那些“看 到 XX，要想到 YY”的联系），则需要自己在练习中不断抽象总结。

一句结尾

“我想我就在这里结束”——如果你知道我在说什

么的话:-)