一、为什么要写这篇文章

不知道大家读书时是否遇到过如下的情景：

老师在讲题的时候，经常如未卜先知一般，就知道已知条件里经常存在着一个自己完全不知道的信息；或者分析着分析着，就突然来句：“这道题可以用反证法/数学归纳法……”解法是很精妙，但换你来做，你就是没有意识到要采用这样的方法。我也曾经问过老师，为什么你们当时会想到用这种方法？得到的也往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。

为什么答案会想到这样解？这是读书以来一直困扰了我很久的问题。

无独有偶，前段时间在知乎看到这样一个问题：
高中数学题的【解法】是否仅因为这样能做出来所以才必须这么做？

题主说到了一个我读书时一直很困惑的问题：

为什么一定要想到那些特定解题方法（或者称之为“套路”）才能做出题目？为什么我的其他思路都会成为不归路？……还是说，这其中根本就没道理，我要做的只是刷题+总结……，然后考试时做出题目，其他的不要乱想

这些种种的问题汇集到一起，就是一个：解题时需要如何思考？

这个问题更简单的表述，就是：如何解题？

也许有人会问：“这种问题还需要有答案吗？问这种问题，是一种不劳而获的心态！”在这里我不得不为自己辩护一句，一个高段位的解题者，一定具有十分丰富的解题经验。就像单墫老师所说的，他自己解题的技巧无非就是做高质量的题目，并勤于总结和推广而已。同时，这位最高票的匿名用户也表示，其实大牛们的解题想法也是套用了前人的思路，在思维上并无过多可以创新的地方。（数学高手在解题时，是形成了一种难以用语言表达的感觉，还是仅仅搜寻套用以前解过的题的思路？）

既然如此，我们有理由提出这样一种假设：人们在解题时遵循着共同的思路，只要找出这种思路，将有利于我们解题的进度。

这并不是一个很容易的证明的假设，但幸运的是，这个问题并没有被人们鄙视，相反地，有很多大牛对于解题时应该怎么想提出了自己具有原创性的想法，在这里，我将整合他们的观点，对如何解题进行一个系列性的介绍。

二、为什么这道题我解不出来？

为什么这道题我愣是解不出来？

相信每个人潜意识里都有这样的困惑，明明这道题目看了很多次，但还是不知道这道题怎么解，甚至不知道这道题是哪个部分给自己造成了困扰，然后就看着草稿纸上多了很多无意义的涂鸦。

那么，这种现象背后的原因到底是什么呢？

经过一段时间的对自己以前做题经历的思考和资料搜集之后，我将这个原因分成了以下三个：

（1）题目考察的知识点是课本上明文列出的知识，但我们不熟悉；

（2）题目考察的知识点是课本上隐含的知识，但我们不熟悉；

（3）题目隐含的信息我们没有发现。

第一种情况看上去可能很难发生，但我的确遇到过。在我上统计学课程的时候，曾经有一个疑问抓着老师问了将近半个小时，老师也很耐心帮我解答了，尽管我还是半知半解。直到课后我拿起书来看的时候，我惊讶地发现，这个我问的这个问题在书上早就有明确的答案了。现在反思这个事情，这件事就表明了当时我对课本内容的不熟悉。

但更严重的问题是，如果你连课本上已经明确说明的知识都不熟悉，那这种情况对双方的沟通都是有害的。从为你讲解的人考虑，这个知识点早就已经内化在他的知识体系当中，属于他来说，这可能就已经是常识、公理了。要解答这样的问题，对他来说很难有足够的动力帮你解答；而对于我们这些求助者来说，讲解者囿于其固化的知识体系，要帮你解决这样的问题也很难做到像一些课本那样通俗易懂。这也能解释知乎上有些题目没人答的原因了。

要解决这个问题也很简单，如果这个知识点你有印象，请看一下课本看看有没有办法用现成的知识解答；如果是对课本所阐述的知识点不理解，可以找一些其他的书目（个人建议老外写的），来转换一下自己的思路。

第二种情况比第一种稍难一点。虽然题目涉及的知识在书里面有，但这些知识并非是白纸黑字向你说明的，而是隐藏在习题里，隐藏在某个结论中，需要你进一步举一反三才能发现。比如说极限的求法，如果是复习考研的同学就知道除了洛必达法则以外，泰勒公式、高阶无穷小、拉格朗日中值定理。但在我上高数的记忆中，洛必达法则用得更多，后面三个几乎没有涉及到。而且课本中也没有明确提及泰勒公式、高阶无穷小、拉格朗日中值定理能用来求解极限。如果做题经验不丰富，遇到涉及这三个知识点就容易形成知识盲区。

这也是我们有时候觉得数学难的原因：数学不像文科，文科的知识一般都是已经清清楚楚地写在书上，你不会做，说明你没有记忆到有关的知识点；而数学的知识更多是隐藏的，如果不是上课认真听讲时刚好遇到，或者做题时偶然遇到，你是无法发现这些规律的。虽然这些规律是那么好用。

不过，这种情况，如果有认真听课，做题量大了，事实上这也不成问题。

第三种情况才是我们解不了题的最主要的原因。

试想以下这道题：

给你24个同样的硬币，其中23个一样重，另一个比它们重一些。再给你一架没有砝码的天平。最少要称几次才能找出那个重币，怎么称法？

涉及到的仅仅是简单的加减乘除，以及大小比较的知识。但仅凭这些信息，还无法让我们完全把这道题解出来。那么，这种情况我们要如何解决呢？

而在讨论这个问题之前，一个必须要面对的问题：一道题目是因为什么而变得困难的？

威克尔格伦认为，一个问题可以分成已知条件（Givens）、运算（Operations）和目标（Goals）。其中，已知条件，是指你将问题拿到手的时候，在问题涉及的范围内已经存在的一组表达式。运算则是可以对已知条件所采取的行动，包括允许的法则，表达式的推演等等。至于目标，就是人们希望在问题范围内成立的目标表达式。他认为，解题的目的，就是决定采取什么行动。而影响行动难点的，就是目标、运算甚至目标的缺失。

例如这道题，如果你察觉到了题目的运算是什么，有什么性质，势必能发现天平背后的隐藏信息：每称一次，有三种而非两种不同的结果，即左边重量大于、等于、小于右边的重量——理论上用天平称一次就能够判断重币在三组（而非两组）当中的哪一组。这道题就能很轻易的解答了。

细说起来就是，把硬币分成三组，每组8个，如果平衡，则重币在没称过的第三组，如果不平衡，则在重的哪一组；之后对重币所在的那8个硬币分成3组，两组每组3个，剩余的一组两个，无论在哪一组，称完之后就可以定位重币所在组，将硬币分成3组称量。这样，最少需要3次才能称完。

波利亚在他著名的《怎样解题》里，是这么审题的：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？如果看过波利亚的这本书的朋友们，势必会发现，波利亚在解题时极其重视未知数，甚至用了至少两个章节来强调：题目要求的是什么，你想要的求的是什么，你希望得到什么……直到明确了要求什么未知数才去努力建立已知条件与未知数之间的联系。

例如这道题，

某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%，调查对象中有179人用搜索引擎获取信息，146人从官网获取信息，246人从社交网站上获取信息。同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人者三种方式都不使用，问这次调查发出了多少人问卷？

未知数是派发问卷的总人数，已知条件是①问卷回收率；②三种方式各自的使用人数；③同时使用三种方式的人数；④使用其中两种方式的人数；⑤三种方式都不使用的人数。

然后就是努力将未知数与已知条件结合起来。由于要求未知量，就是求只用一种方式，同时使用两种方式，同时使用三种方式，三种方式都不用的人数的总和，而后三者即已知条件③④⑤，则未知量就变成了如何求只用一种方式的人数了。但请别忘记，题目里面还有一个重要的已知数据②——3种搜索方式的使用人数。显然，新的联系就是已知数据②与新未知量之间的联系了，如果留意一下已知条件③和④与已知数据②的联系可以发现，同时使用三种方式的人数+同时使用两种方法人数里面的一部分（涉及排列组合）+只使用一种方法的人数之和 =对应方法的使用人数（条件②）。据此列方程即可解除答题的人数，基于已知条件①除以回收率即可得到未知量。

这两种思维模式有什么不同呢？不同点在于，威克尔格伦更强调对题目背后运算的搜索，然后再借助已知表达式和目标表达式，找到目标表达式之前或者已知表达式之后的中途点；而波利亚则更强调探索未知量（准确地说，是我想得到的量）与已知条件之间的关系，通过不断地联系来找到解题的最佳路径。

不过无论如何，两者的观点还是具有一定的共识的。包括：①问题的组成都有已知条件和未知量；②因为题目隐藏了一些东西，可能是题目，可能是允许的运算方法甚至是已知条件，而这些隐藏的东西使得要素之间的联系变得十分模糊，题目才会那么难。

至于哪种思维方式最有利于解题，各人有各自的见解，但一个可以有趣的信息是，尽管都是讲解题的书，可是在豆瓣上威克尔格伦的书远不如波利亚有名（包括推荐人数，书评等等），如果不是看完觉得很有启发性，我觉得大家也不会这么乐于推荐波利亚的书吧。

当然，如果硬要解释，就是按威克尔格伦的解法，优先去考虑运算，容易使得回忆的强度大幅度增加，甚至忘了目标在哪。而波利亚的这种思维顺序让人们能够紧紧盯着未知量，不至于在思考时忘了自己要求什么了。

本章简要分析了我们解题时遇到苦难的三种情况：①题目考察的知识点是课本上明文列出的知识，但我们不熟悉；②题目考察的知识点是课本上隐含的知识，但我们不熟悉；③题目隐含的信息我们没有发现。其中，对于第三种情况，我介绍了威克尔格伦和波利亚对于题目结构的看法。他们关于题目的共识有以下两点：①问题的组成都有已知条件和未知量；②因为题目隐藏了一些东西，可能是题目，可能是允许的运算方法甚至是已知条件，而这些隐藏的东西使得要素之间的联系变得十分模糊，题目才会那么难。

（To be continued）

参考文献

1、（美）G·波利亚.  怎样解题 数学思维的新方法[M]. 上海：上海科技教育出版社.2007.05

2、（美）威克尔格伦. 怎样解题[M].北京：原子能出版社.1981.09