有点空闲，就忍不住钻到数学里，好像玩游戏上瘾了。在此说几块。
（1）数系的扩张
正整数减法产生0和负数，自然数（整数和0）和负数组成整数系统；
整数的除法产生分数（小数），整数和分数组成有理数系统；
在开方运算中产生无理数，无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，是无限不循环小数。有理数和无理数组成实数系统；在科学发展过程中，又发现了圆周率p、自然常数e等超越数，超越数是无理数的组成部分。
从自然数到整数、分数，再到无理数、超越数，数系扩充至实数，数轴已经充满，好象再不能有别的数了。
但是，负数开方产生了虚数，又使数系扩张至复数系统。复数包括实数和虚数。
从实数数轴的原点引一条与其垂直的的虚轴（虚轴的单位是i，i² =－1），就构成了复平面（复平面是人为定义的，实轴和虚轴并不是等价的）。a+bi与复平面内的点一一对应，这样复数系就登场了。
科学家们据此又继续将数系扩充，再增加1条与前2条都垂直虚轴，这条虚轴的单位是j。
再增加1条与前3条都“垂直”的虚轴（画不出来），单位是k。
…………
直至增加至n条相互“垂直”的坐标轴，其中有1条实轴，n―1条虚轴。
可以说，这样的坐标轴可以无限增加。从而在实数、复数之外，就有了三元数、四元数……n元数，……无穷元数，数系的扩张没有了止境。
附录
思考：就像元素周期表一样，可以假设元素序号能无限增加，但实际存在的还是少数。数系也是如此，有些多元数是不存在的，实际有用的多元数只是少数。目前所见之客观世界，用1条实轴和3条虚轴就够用了（简称1+3），此为四元数。所谓四元数，准确地应该叫做“1实+3虚”复数，因为这四条坐标轴不是等价的（多元数中，“1实”具备独特的地位）。可以用“1实”表示物质的数量，“3虚”表示时空的位置。
数学中，数轴是一维的，平面向量是二维的，空间向量是三维的。向量是即有大小又有方向的数。
数学发展过程中，出现了许多分支。根据用途，人们会选择不同的数学分支。
许多数学式子简洁美妙，如：
数学是美妙的，数充满了整个世界，世界处处都有数。研究数学，趣味无穷。
（2）多维空间
如果世界是一维的，那就相当于一根数轴，比如说数轴上有A、B、C三个人，那么A就不可能不经过B跟C联系，也就是说在不经过B的条件下，从A到C是没办法实现的。
但在二维空间，这个就很简单了，有很多途径可以实现，好比我是A，我要去找C，我只要从B的一侧绕过去就可以了。
二维世界是一个平面，如果B是个圆，A在圆内，C在圆外，那么A就不可能不经过这个圆线B到达C，也就是说，在不经过圆线B的条件下，从A到C是没办法实现的。但如果在三维空间就很容易实现了，跳过去就可以了。
在三维世界里，如果B是个球面，A在球内，C在球外，那么A就不可能不经过球面B到达C，也就是说，在不经过球面B的条件下，从A到C是没办法实现的。但我们可以设想，在四维世界里，这种实现应该就是很简单的了，“跳”过去就行了。
如果存在四维世界，那么我们的房间就不需要门，可以直接穿墙而入（“跳”过去就行了）！我们可以不剥鸡蛋壳，直接吃到里面的鸡蛋！
许多人为的东西都是人们为了便于解决问题而“创造”出来的。数学里在很多时候都是通过增加维数，使得问题的解决变得可能。虚数的出现也是基于这个原因，在实数领域解决不了的问题，通过增加一个虚轴，使它变成2维空间，问题就变得简单了，而最终选用的还是实数解。
当我看着手中的粉笔盒时，能清楚的观察到，一维“线”是二维“面”的边界，二维“面”是三维“体”的边界，以此类推，三维“体”应该是四维啥啥的边界，四维啥啥应该是五维啥啥的边界……
那么，有许多平行的棱，平行的面，还应该有许多平行的立体空间……也许平行世界就是这么来的。
那么，有许多相交的棱，相交的面，还应该有许多相交的立体空间……与我们平行的另一个世界也许就有人与我们站在同一个位置，但是我们感觉不到！
既然粉笔盒上的线（棱）能通过交点从这条线拐到那条线，粉笔盒上的平面（面）能通过棱线从这个面拐到那个面，那么也应该能通过面从一个立体空间拐到另一个立体空间，通过一个三维空间从一个四维空间进入另一个四维空间……
另外，时间算是其中一个维度吗？如果是一个维，为何是单向的？所以我觉得时间并不是一个单独的维，时间与空间是一体的，我们并不是处于三维空间，也不是处于四维空间，而是处于三维时空，空间沿时间走向未来。
回归自然。所见即所得，现实就是三维时空。数和数轴也只能有一维、二维、三维。至于世界里一定还有想不到的更奇妙的事情，那也得等证实了才能说“一定”。
世界真奇妙，思考真美妙。好幸福，生而为人──这种会思考的特殊动物！
评：
有一维生命、二维生命、三维生命、多维生命（四维及以上）的说法。一维，就是只有长度，横截面积为0；二维，就是只有面积，没有厚度；它们都没有容积，如何承载生命体？所以，一维生命、二维生命是不可能存在的。多维生命能否存在，要看多维时空是否存在。多维时空存在与否，我还没有看到或体会到，只是在数学中或在想象中遇到。但愿真的能“见到”多维时空，前提是，确实存在才有可能“见到”。一维、二维、三维、……也许可以推至无穷维，这样的想象力确实惊人，不过我认为除了三维时空其他维时空都不可能存在，没有必要在寻求其他维时空方面浪费时间！我们所见，可以用过一点的三条相互垂直的坐标轴建立一个空间坐标系，而无法再添加一条与空间坐标系的三条相互垂直的坐标轴都垂直的坐标轴。假设真的有无穷多维，那么我们所处的地方及其周围还可能有相当多的东西存在，但我们看不到，也没有一点感觉？我有时也想象在三维时空中没有障碍，在多维时空中实现更多的精彩。但想象终归想象，虚数和多维都好比是镜子照出来的影像，有用处但不是真实的存在。
世界的本原是简单而美丽的，没有那么复杂，所有复杂的事情都是人为的。
当然，幻想是美妙的，也希望更多的幻想变为现实，比如超时空飞船，不需要经过空间和时间，无论多远，立即到达；比如万能药，能使有问题的组织再生，能使身体百毒不侵，这样的话，医生就要失业，医院也将关门，人也就不生不灭了……也许有一天，宇宙的结构会被人们彻底弄清楚，人们会在自然规律的指导下科学地去生活，到那时，人间变天堂，神州是仙界。
（3）著名的超越数
超越数属于无理数但又有其特别之处，超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数，圆周率π和自然常数e是两个著名的超越数，它们不能用有限的式子表示出来，但却有多种方法用无穷级数表示。
圆周率π
圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中经常用到的常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何数据的关键值。
在日常生活中，通常都用3.14或3.1416代表圆周率去进行近似计算。
英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积（如下）。罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了相同的公式。
埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。建于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。
古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287—212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，包含了求极限的思想。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他从圆内接正六边形逐次分割，直到求得令自己满意的圆周率π=3.1416。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113、约率22/7。密率是个很好的分数近似值。
1610年，荷兰籍德国数学家鲁道夫花费了毕生精力把π算到了小数点后35位，从而使自己长眠于刻有36位π值的墓碑下。
后来，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，摆脱割圆术的繁复计算。使得π值计算精度迅速增加。如：
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ……
π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - 4/(12*13*14) ……
到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。据说现在已有人用计算机将圆周率计算到小数点后31.4万亿位，具体来说，是31415926535897位。有人能背诵到圆周率小数点后100000位。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，一般用十几位就足够了；如果使用小数点后40位的数字来计算已知宇宙的大小，误差也不超过一个原子的大小。
目前为止只知道π是个超越数。π包含所有的数字组合吗？所有数字出现频率趋于一致吗？在得到证明以前，尽管我相信是这样，但还是不敢保证。如果在这串数字中，包含所有的数字组合，你的生日，储物柜密码，你的社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母（或文字），就能得到所有的单词。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，每一部小说从前言到正文再到结局，宇宙中所有无限的可能事件，都在这个简单的圆周率之中。用这些信息做什么，有什么用，取决于我们自己。太奇妙了，万物的基础形态是球形，与球形有关的常数就是圆周率，圆周率如果被证明包含宇宙间一切可能的信息，那么不用创造，什么都可以从中挖掘出来。
π＝3.14159265 35897932 3846264338327950 28841971 69399375 10582097 49445923 07816406 28620899 8628034825342117 06798214 80865132 82306647 09384460 95505822 31725359 4081284811174502 84102701 93852110 55596446 22948954 93038196 44288109…………
自然常数e
把这个数称之为自然常数，是因为自然界中的不少规律与该数有关。不过，这个数最初不是在自然界中发现的，而是与银行的复利有关。
自然常数e的一个定义是：
它的值为：e = 2.71828182
84590452 35360287 47135266 24977572 47093699……
e作为数学符号最先是欧拉在1727年使用的，后来，人们又确定用e做自然对数的底来纪念他。
有一个重要特性：指数函数ex的导函数等于其自身。即
现在来看看e的指数的变化：
起初，e的x次幂，就是x个e相乘，如两个e相乘为e2.
后来，将指数的数值范围扩大，x可以为小数（分数）、无理数，至此，x可以取任意实数。我觉得这是个定义，也是数学的需要，已经背离了起初指数的定义，例如我们没法让2.5个数相乘，不过在应用中是完全正确的，我们在计算利率时，指数就可以是2.5年。
在高等数学中，x又扩大到复数（现实生活中，我们找不出虚数，更找不出虚数次幂。我认为不存在这样的数，但数学家创造了它，而且“物尽其用”）。
e有很多用处，例如：
反映自然界规律的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现的，必定是而且只是以e为底的。以e为底的对数叫自然对数。e的用处非常多作用非常大，如原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用e，在用齐奥尔科夫斯基公式算火箭速度时又要用e，在算储蓄最优利息及生物增殖问题时，也要用e。
神奇的e，它就存在于我们的日常生活中和自然界当中，是一个“真正的自然数”。因为e，整个数学花园盛开了许多美丽的花朵。
数学是世界上最精致的艺术。但是，低学级数学教材中许多数据和公式都是语焉不详，例如e 的数值、概率论中的正态分布公式等。其实，每一个定义、每一个公式、每一个定理都有它的来源和价值，低学级或者非数学专业一般不易弄清楚，找到证明过程也可能看不懂。科学家弄出来的东西，许多时候尽管享用。实践证明，我们有好多不懂的东西天天在用，甚至意识不到里面的神奇。比如手机的制造及信号传播，涉及到的科学和技术很多，但我们不用去想，只管使用。
（4）圆幂定理
数学中三个与圆有关的定理：相交弦定理、割线定理、切割线定理。把这几个定理统一起来，叫圆幂定理：
由平面内一定点P向一个圆（圆心为O，半径为R）引任意一条直线，交圆于A、B两点，则定点到两交点的长度的积PA×PB为定值|OP^2－R^2|。
推论：如果把上面的圆变为球，平面变为空间，结论相同，叫球幂定理。
上述定点P可以在圆外（线与圆相切时，两交点重合），也可以在圆内，还可以在圆上（此时一交点与定点P重合，PA×PB＝0）。
兴趣是一个奇妙的东西。小学时，一个娃娃用圆规画了一个圆，又在圆内画出相交的线，量出被交点分得的线段，发现每条线被交点分得的两线段的积总是近似为一个定值。后来才知道当时验算的就是相交弦定理。我想把三个定理合并，并觉得事物的本质是立体的，应该将其中的圆扩展为球，到网上一查，有现成的，叫球幂定理。
我想，一个人与世界的关系，就像上面的定点与圆球的关系。无论你走哪一条路，只要与世界发生关系，都会存在一个等量的数值。你选一条路，同时就要舍弃另外所有的路，但殊途同归，所有的路都是等效的，不能总是“这山望着那山高”。当你费时费力换了另外一条路去走时，才发现哪条路都不简单，况且人没有足够的时间去进行多次选择。人生是无数个当下形成的轨迹。把握当下，成就一生。
（5）微积分与人生
数学中微积分的思想是一个重要的思想，化整为0，积0为整。
“曹冲称象”实际上就用到了微积分的思想。先“化整为零”（把大象的体重用多块石头的质量来替代），再“积零为整”（石头质量的累积就是大象体重）。“微积分”就是“微分”+“积分”。“微”是“细微”、“无限细分”；“积”是“累积”即求和，“积分”就是“无限求和”。
在求圆的面积时就用到“无限细分”。把整个圆面等分成许多全等的小扇形。当“无限细分”时，用弦换弧来实现“以直代曲”。这就是将有限分成无限，再求无限之和。
微积分是一个很妙的思想方法。微积分的创立是人类智慧最伟大的成就之一。
学习和做事都有一个目标，谁也不能“一口吃个胖子”，可以把任务细化，走好每一步，把握每一天，由微分到积分，最终实现目标。
天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。在现实生活中，一些大目标看似难以实现，但如果你把它分割成无数个小目标，你就会发现这些小目标实现起来就不是什么难事了。在你的人生中，如果你不虚度年华，不断地实现每一个小目标，日积月累，就会获得人生的大成功。
数学语录：
数学是科学的语言，是思维的体操。
超越数多，但知道的少；代数数少，但所见满世界都是。世界也是这样，看到的东西少，看不到的东西多。
上帝创造了整数，所有其余都是人造的。
定理的证明，就是用已知定理（或公理）推出要论证的命题。陈景润天才地引进了一个转变定理，从而证明了“陈氏定理”。许多证明都需要天才地引进已知的定理。
数学中有两个很重要的部门，一个是数论，一个是理论物理。
数，纯真而美丽。越是纯真，越是迷人。任何不自然的装饰，即画蛇添足。前面迷人的小径向人们招着手，只有那些心智特别精灵的人才愿意继续往上攀登，到达更清洁、更纯粹、更光明的境界。
数学的科学体系是建立在少数几条公理之上的。各学科往往用公理化方法建立自己的科学体系。经济学也是如此。经济学公平三原则：
1.同工同酬原则；
2.不劳不得原则；
3.多劳多得原则。
这些原则在某些特定环境下被用得出神入化。
