平行线的判定与性质

  在小学的时候,我们就已经学习过平行线了,但到了初中我们要再一次学习平行线,这是为什么?我想我们在初中所学习的平行线肯定要比小学更加深入,更加严谨,对平行线也会有一个更加准确的认识。我们在小学的时候只学习了平行线的定义,但是其他相关的知识却没有涉及到。

  首先我们再来复习一下,到底什么是平行线?也就是平行线的定义是什么?说到平行线,肯定是两条线之间的位置关系,不会是两个点,因为平行里的行就代表了它是有运动状态的,一个点可以运动吗?显然是不行的。但是一条线就可以表示运动的状态,我们也经常说到点动成线,一个点运动的轨迹就形成了一条线,并且还可以无限延伸,就像是直线。所以在这里我们应该更准确的说是两条直线之间的位置关系。并且要注意,说到平行线,是要在同一个平面,不能在其他的维度上。在同一平面内,永不相交的两条直线就是平行线。这就是平行线最基础的定义。我们在小学的时候,也同样可以利用这样的定义画出平行线,用到的其实就是平移的原理,如图:

首先先用直尺任意画一条直线,接下来再将三角板的直角边与之垂直,然后再放上一条直尺,与第一条直线重合后向下平移,这时再画出一条新的直线,所画的两条直线就是平行线。

  那么问题来了,我们如何才能判定两条直线相互平行?首先我想到了一个办法,将这两条直线无限向两边延伸,只要他们在延伸的过程中有一点重和,那么他们就不平行。如果两直线始终没有重合的点,这两条直线就平行。这样的方法确实没有问题,但是在实际操作中却不现实,因为我们难道要将这条直线无限的延长再去判定吗?显然是不行的。那么有没有其他的判定方法?我想到了一个方法,平行线之间是垂直的关系,那么我们就可以做一条垂线,分别经过两条直线,如果这条垂线分别垂直于两条直线那么就说明他们是平行的关系,如图:

这样的方法也可以判定他是否是平行线。那还有没有其他的方法?这时我想我们我们之前探索的三线八角,一条直线相截一条平行线,如图:

  我们可以先利用几何变化的方式来想象一下,两条直线被第三条直线所截,我猜想当∠1=∠2的时候,直线a和直线b平行,我们也可以用符号语言来表示一下

∵<1=<2

∴a∥b

我们可以想象一下当直线c任意顺时针或逆时针旋转的时候,只要它还和直线a,b相交,∠1其实一直等于∠2,这两个角就称为同位角,也就是说两条直线被第三条直线所截,只要同位角相等,说明这两条直线平行。但是这个猜想可否证明其实是不行的,就像是数学的因为所以证明,肯定有一个最原始的因为,他是无法证明的,也是不正自明的,他也被我们称为公理,如果还无法说服自己的话,大家也可以去多画几组这样的平行线。所以此时我们就得到了平行线判定定理1,两直线被第3条直线所截,如果同位角相等,两直线平行。

  接下来我还猜想<7=<4,它们的位置处于直线C的两边,同时还都在直线ab直线的内侧,所以可以把它们称为内错角。当两直线平行被第3条直线所截时,内错角相等,则两平直线平行。我们也可以用符号语言来表示。

∵<7=<4

∴a∥b

但是现在我们只是一个猜想,还需要证明。刚才我们已经得到了平行线判定定理,一,此时我们就可以直接运用前一条定理。

∵<7=<4

<7=<3(对顶角相等)

∴<4=<3(等量代换)平行线判定定理1

此时我们通过前一个定理严谨的因果证明,证出了第2个平行线判定定理,也就是两直线被第3条直线所截,如果内错角相等,两直线平行。

  接下来我还有一个猜想,<2+<7=180。这两个角都在直线C的E点,同时它们还都在直线ab的内侧,所以可以叫它们同旁内角,两直线被第3条直线所截,如果同旁内角互补,则两直线平行。我们也可以用符号语言来表示。

∵<2+<7=180

∴a∥b

但是这也只是一个猜想,还需要证明。此时我们就可以运用前两个定理。

∵<2+<7=180

<5+<7=180

∴<2=<5(等量代换)平行线判定定理2

此时我们也通过了严谨的推理证明,得到了平行线判定定理三。两直线被第3条直线所截,如果同旁内角互补,则两直线平行

这就是我们探索的全部的平行线判定方法,只要两直线平行被第。3条直线所截,符合其中的任意一项,这两条直线就平行

刚才我们是通过某些方法证明他是平行线,那么反过来,如果我们知道他是平行线,又能得到哪些其他的结论?这其实就是平行线的性质。我猜想角∠1等于∠2,∠3等于∠4,∠5等于∠6,∠7等于∠8。但是通过我的证明发现,如果想证明同位角相等是没有办法的,因为他之前并没有另一个定理,所以无法通过前一个定理证明,也就是说同位角相等是一个起点,他是不证自明的。这其实就是我们一直所说的公理,就像是欧几里得的证明,先有几个公理,由此推出更多定理。所以我们就可以得到两直线平行同位角相等,这就是平行线性质定理1。现在我们已经有了一个定理,就可以通过这个定义推出新的定理,比如说证明内错角相等,通过这个公理求证∠7是否等于∠4,如图:

其实这就是三线八角中角的各种关系,∠7和∠4就称为内错角,这种角度关系就叫做平行线的性质。后来我一一推理证明,得到了两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,他们分别是平行线的性质定理1,2,3这就是平行线的性质。以后我们只要知道两直线平行就可以立刻得到这三组关系。

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