高等代数理论基础70：对偶空间

对偶空间

设V是数域P上一个n维线性空间,V上全体线性函数组成的集合记作 $L(V,P)$

可用自然的方法在 $L(V,P)$ 上定义加法和数量乘法

设f,g是V的两个线性函数,定义f+g

$(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha),\alpha\in V$

f+g也是线性函数

$(f+g)(\alpha+\beta)=f(\alpha+\beta)+g(\alpha+\beta)$

$=f(\alpha)+f(\beta)+g(\alpha)+g(\beta)$

$=(f+g)(\alpha)+(f+g)(\beta)$

$(f+g)(k\alpha)=f(k\alpha)+g(k\alpha)$

$=kf(\alpha)+kg(\alpha)$

$=k(f+g)(\alpha)$

f+g称为f与g的和

设f是V上线性函数, $\forall k\in P$ ,定义kf

$(kf)(\alpha)=k(f(\alpha)),\alpha\in V$

kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数

在上述定义的加法和数量乘法下, $L(V,P)$ 成为数域P上的线性空间

取定V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,作 $V$ 上n个线性函数 $f_1,f_2,cdots,f_n$ ,使得

$f_i(\varepsilon_j)=\begin{cases}1\qquad j=i\\0\qquad j\neq i\end{cases}i,j=1,2,\cdots,n$

$f_i$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 上的值已确定,这样的线性函数存在且唯一

对V中向量 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i$ ,有 $f_i(\alpha)=x_i$ ,即 $f_i(\alpha)$ 是 $\alpha$ 的第i个坐标的值

引理： $\forall \alpha\in V$ ,有 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^n f_i(\alpha)\varepsilon_i$ , $\forall f\in L(V,P)$ ,有 $f=\sum\limits_{i=1}^nf(\varepsilon_i)f_i$

定理： $L(V,P)$ 的维数等于V的维数,且 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 是 $L(V,P)$ 的一组基

证明：

$先证f_1,f_2,\cdots,f_n线性无关$

$设c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n=0(c_1,c_2,\cdots,c_n\in P)$

$依次用\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n代入,可得$

$c_1=c_2=\cdots=c_n=0$

$\therefore f_1,f_2,\cdots,f_n线性无关$

$又L(V,P)中任一向量都可由f_1,f_2,\cdots,f_n线性表出$

$\therefore f_1,f_2,\cdots,f_n是L(V,P)的一组基$

$dim(L(V,P))=n=dim(V)$

定义： $L(V,P)$ 称为V的对偶空间,由 $f_i(\varepsilon_j)=\begin{cases}1\qquad j=i\\0\qquad j\neq i\end{cases}i,j=1,2,\cdots,n$ 决定的 $L(V,P)$ 的基,称为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 的对偶基

V的对偶空间简记作 $V^*$

例：考虑实数域R上的n维线性空间 $V=P[x]_n$ ,对任意取定的n个不同实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ,由拉格朗日插值公式,得到n个多项式

$p_i(x)={(x-a_1)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots(x-a_n)\over (a_i-a_1)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)},i=1,2,\cdots,n$

它们满足 $p_i(a_j)=\begin{cases}1\qquad j=i\\0\qquad j\neq i\end{cases}i,j=1,2,\cdots,n$

$p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x)$ 是线性无关的

由 $c_1p_1(x)+c_2p_2(x)+\cdots+c_np_n(x)=0$ ,用 $a_i$ 代入即得

$\sum\limits_{k=1}^nc_kp_k(a_i)=c_ip_i(a_i)=c_i=0,i=1,2,\cdots,n$

又V是n维的,故 $p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x)$ 是V的一组基

设 $L_i\in V^*(i=1,2,\cdots,n)$ 是在 $a_i$ 点的取值函数

$L_i(p(x))=p(a_i),p(x)\in V,i=1,2,\cdots,n$

则线性函数 $L_i$ 满足

$L_i(p_j(x))=p_j(a_i)=\begin{cases}1\qquad i=j\\0\qquad i\neq j\end{cases}i,j=1,2,\cdots,n$

故 $L_1,L_2,\cdots,L_n$ 是 $p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x)$ 的对偶基

V的两组基的对偶基之间的关系

设V是数域P上一个n维线性空间, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 及 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是V的两组基,它们的对偶基分别为 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 及 $g_1,g_2,\cdots,g_n$

设 $(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$

$(g_1,g_2,\cdots,g_n)=(f_1,f_2,\cdots,f_n)B$

其中 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{pmatrix}$

由假设, $\eta_i=a_{1i}\varepsilon_1+a_{2i}\varepsilon_2+\cdots+a_{ni}\varepsilon_n,i=1,2,\cdots,n$

$g_j=b_{1j}f_1+b_{2j}f_2+\cdots+b_{nj}f_n,j=1,2,\cdots,n$

$g_j(\eta_i)=\sum\limits_{k=1}^nb_{kj}f_k(a_{1i}\varepsilon_1+a_{2i}\varepsilon_2+\cdots+a_{ni}\varepsilon_n)$

$=b_{1j}a_{1i}+b_{2j}a_{2i}+\cdots+b_{nj}a_{ni}$

$=\begin{cases}1\qquad i=j\\ 0\qquad i\neq j\end{cases}i,j=1,2,\cdots,n$

由矩阵乘法定义, $B'A=E$

故 $B'=A^{-1}$

定理：设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 及 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别为 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 及 $g_1,g_2,\cdots,g_n$ ,若由 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 到 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 的过渡矩阵为A,则由 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 到 $g_1,g_2,\cdots,g_n$ 的过渡矩阵为 $(A')^{-1}$

设V是P上一个线性空间, $V^*$ 是其对偶空间,取定V中一个向量x,定义 $V^*$ 的一个函数 $x^{**}$

$x^{**}(f)=f(x),f\in V^*$

由线性函数的定义,易证 $x^{**}$ 是 $V^*$ 上的一个线性函数,故是 $V^*$ 的对偶空间 $(V^*)^*=V^{**}$ 中的一个元素

定理：V是一个线性空间, $V^{**}$ 是V的对偶空间的对偶空间, $V$ 到 $V^{**}$ 的映射 $x\to x^{**}$ 是一个同构映射

证明：

$\forall x_1,x_2\in V,f\in V^*$

$(x_1+x_2)^{**}(f)=f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$

$=x_1^{**}(f)+x_2^{**}(f)$

$(kx_1)^{**}(f)=f(kx_1)=kf(x_1)$

$kx_1^{**}(f)=(kx_1^{**})(f)$

$\therefore (x_1+x_2)^{**}=x_1^{**}+x_2^{**}$

$(kx_1)^{**}=kx_1^{**}$

$\therefore 这个映射保持加法和数量乘法$

$若x^{**}为V^*上零函数$

$即\forall f\in V^*,有f(x)=0$

$则x=0$

$\therefore 这个映射是单射$

$又V与V^{**}维数相同$

$\therefore 这个映射是一个同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：定理说明,线性空间V也可看成 $V^*$ 的线性函数空间,V与 $V^*$ 实际上是互为线性函数空间

此即对偶空间名词的由来

故任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间

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