2020-07-18抽象代数

一、抽象代数的抽象

1.1代数结构的抽象

一个集合A是由无数的元素构成的。如果一个集合内的元素可以通过某种方式 $F$ 联系在一起，我们就称该集合和这种联系方式共同构成了一个代数结构： $（A，F）$ 。映射便是一种常见的联系方式。一个联系方式 $F$ 可以同时包含多种映射，且不同的映射可以满足不同的性质。

代数结构抽象：对于一个非空集合A，以及一个非负整数n，我们定义 $A^0$ ={0}，且对于n>0, $A^n是A的元素所构成的n元组$ 。A上的n元运算（或函数）是任何从 $A^n到A的函数f$ 。n是 $f$ 的元数(arity,rank）。有限元操作是针对某个n来说的一个n元操作。 $<a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} >的在一个n元运算f下的像$ （image）记为 $f（a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} )$ 。在A上的运算 $f$ 如果元数为零，则被称为零元（nullary）操作，或常运算（constant），该运算完全由 $A^0$ 中的唯一元素 $\oslash$ 在A中的像 $f（\oslash ）$ 来决定，故而零元运算可以被视为A中的一个元素（例如不同代数结构中的“单位元”，identity）。

联系方式抽象：代数的语言（或类型，type）是一个函数符号的集合 $F$ ，使得 $F中的每个元素f都可以得到$ 一个非负整数n的赋值。该整数被称为 $f$ 的元数， $f被称为一个n元函数符号$ 。 $F中n元函数符号所构成的子集$ 记为 $F_{n}$ 。

1.2同构的抽象

代数结构是对具体事物进行抽象的产物，而不同的抽象方式会产生不同的表现形式。

具体而言，如果两种代数结构其实是同一种具体事物的不同抽象方式，那么它们必然会存在某种共通性。而这种共通性，就是同构。

我们给出抽象层面的同构定义：设A和B为类型同为 $F$ 两个代数，A和B的函数 $\alpha ：A\rightarrow B$ 是一个同构，如果它是单射和满射，且对每一个n元 $f\in F和a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} \in A,$ 我们有： $\alpha f^A(a_{1},\cdot \cdot \cdot ,a_{n} ) =f^B(\alpha a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,\alpha a_{n} )$ .如果存在一个从A到B的同构，我们称A同构于B，记作 $A\cong B$ 。如果 $\alpha 是A到B的一个同构，我们也可以说\alpha ：A\rightarrow B$ 是一个同构。

二、具体的代数结构

1、群

2、环

3、域

4、模

5、向量空间

6、域代数

7、结合代数

8李代数

9、格

10、布尔代数