62. 不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

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输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

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C(8,2)= 8*7/(2*1)=28

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你P(5,2)会算吗?
C(5,2)=P(5,2)/2=10
总之,C(m,n)=P(m,n)/P(n,n)
你P会算吧?
P(n,n)=n!
P(m,n)=m!/(m-n)!
会算P就OK了

class Solution {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int part = n - 1;
        int all = m + n - 2;//总步数
        long o1 = 1;
        long o2 = 1;
        for (int i = part + 1, j = 1; i <= all || j <= all - part; i++, j++) {
            o1 *= i;
            o2 *= j;
            long gcd = gcd(o1,o2);//防止溢出，在求乘法的过程中，除以最大公约数
            o1 /= gcd;
            o2 /= gcd;
        }
        return (int)o1;
    }
    
    //求最大公约数
    public static long gcd(long m, long n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }
}

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• swift

class Solution {
    func gcd (_ m: UInt, _ n: UInt) -> UInt {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }

    func uniquePaths(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
        //C(8,2)= (8*7)/(1*2)
        
        let part  = n-1
        let all = m+n-2
        var o1 : UInt = 1
        var o2 : UInt = 1
        
        var index : UInt = UInt(part+1)
        var jIndex: UInt = 1

        while index <= all || jIndex <= all - part
        {
            o1 *= index;
            o2 *= jIndex;
            
            
            let gcdNumber = gcd(o1, o2)
            o1 /= gcdNumber;
            o2 /= gcdNumber;
            
            
            index = index + 1
            jIndex = jIndex + 1
        }

        
        return Int(bitPattern: o1)

    }
}

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