高等代数理论基础46：线性变换的运算

线性变换的运算

乘法

设 $\mathscr{A},\mathscr{B}$ 是线性空间V的两个线性变换,定义它们的乘积 $\mathscr{A}\mathscr{B}$ 为 $(\mathscr{A}\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha))(\alpha\in V)$

性质：

1.线性变换的乘积也是线性变换

$(\mathscr{A}\mathscr{B})(\alpha+\beta)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha+\beta))$

$=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha)+\mathscr{B}(\beta))$

$=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha))+\mathscr{A}(\mathscr{B}(\beta))$

$=(\mathscr{AB})(\alpha)+(\mathscr{AB})(\beta)$

$(\mathscr{AB})(k\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(k\alpha))$

$=\mathscr{A}(k\mathscr{B}(\alpha))=k\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha))=k(\mathscr{AB})(\alpha)$

即 $\mathscr{AB}$ 是线性的

2.线性变换的乘法适合结合律

$(\mathscr{A}\mathscr{B})\mathscr{C}=\mathscr{A}(\mathscr{B}\mathscr{C})$

3.线性变换的乘法一般不可交换

例： $\R$ 上的线性空间 $\R[x]$ 中,线性变换

$\mathscr{D}(f(x))=f’(x),\mathscr{G}(f(x))=\int_0^xf(t)dt$

$\mathscr{DG}=\mathscr{E}$ ,但一般 $\mathscr{GD}\neq\mathscr{E}$

4.对任意线性变换 $\mathscr{A}$ , $\mathscr{EA=AE=A}$

逆变换

对V的变换 $\mathscr{A}$ ,若有V的变换 $\mathscr{B}$ ,使 $\mathscr{AB=BA=E}$

则称变换 $\mathscr{A}$ 可逆,变换 $\mathscr{B}$ 称为 $\mathscr{A}$ 的逆变换,记作 $\mathscr{A^{-1}}$

若线性变换 $\mathscr{A}$ 是可逆的,则它的逆变换 $\mathscr{A^{-1}}$ 也是线性变换

$\mathscr{A^{-1}(\alpha+\beta)=A^{-1}[(AA^{-1})(\alpha)+(AA^{-1})(\beta)]}$

$=\mathscr{A^{-1}[A(A^{-1}(\alpha))+A(A^{-1}(\beta))]}$

$=\mathscr{A^{-1}[A(A^{-1}(\alpha)+A^{-1}(\beta))]}$

$=\mathscr{(A^{-1}A)(A^{-1}(\alpha)+A^{-1}(\beta))}$

$=\mathscr{A^{-1}(\alpha)+A^{-1}(\beta)}$

$\mathscr{A^{-1}(k\alpha)=A^{-1}(k(AA^{-1})(\alpha))}$

$=\mathscr{A^{-1}(k(A(A^{-1}(\alpha))))}$

$=\mathscr{A^{-1}(A(kA^{-1}(\alpha)))}$

$=\mathscr{(A^{-1}A)(kA^{-1}(\alpha))}$

$=\mathscr{kA^{-1}(\alpha)}$

即 $\mathscr{A^{-1}}$ 是线性变换

加法

设 $\mathscr{A,B}$ 是线性空间V的两个线性变换,定义它们的和 $\mathscr{A+B}$ 为

$\mathscr{(A+B)(\alpha)=A(\alpha)+B(\alpha)})(\alpha \in V)$

性质：

1.线性变换的和还是线性变换

$\mathscr{(A+B)}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}(\alpha+\beta)+\mathscr{B}(\alpha+\beta)$

$=(\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta))+(\mathscr{B}(\alpha)+\mathscr{B}(\beta))$

$=\mathscr{(A(\alpha)+B(\alpha))+(A(\beta)+B(\beta))}$

$=\mathscr{(A+B)(\alpha)+(A+B)(\beta)}$

$\mathscr{(A+B)(k\alpha)=A(k\alpha)+B(k\alpha)}$

$=\mathscr{kA(\alpha)+kB(\alpha)}$

$=\mathscr{k(A(\alpha)+B(\alpha))}$

$=k\mathscr{(A+B)(\alpha)}$

即 $\mathscr{A+B}是线性变换$

2.线性变换的加法适合结合律与交换律

$\mathscr{A+(B+C)}=\mathscr{(A+B)+C}$

$\mathscr{A+B=B+A}$

3.对任意线性变换 $\mathscr{A}$ , $\mathscr{A+O=A}$

4.分配律

左分配律 $\mathscr{A(B+C)=AB+AC}$

右分配律 $\mathscr{(B+C)A=BA+CA}$

$\mathscr{A(B+C)(\alpha)=A((B+C)(\alpha))}$

$=\mathscr{A(B(\alpha)+C(\alpha))}$

$=\mathscr{A(B(\alpha))+A(C(\alpha))}$

$=\mathscr{(AB)(\alpha)+(AC)(\alpha)}$

$=\mathscr{(AB+AC)(\alpha)}$

负变换

对任意线性变换 $\mathscr{A}$ ,定义负变换 $-\mathscr{A}$

$\mathscr{(-A)(\alpha)}=-\mathscr{A}(\alpha)(\alpha\in V)$

负变换也是线性的,且 $\mathscr{A+(-A)}=O$

数量乘法

定义数域P中的数与线性变换的数量乘法

$k\mathscr{A=KA}$

即 $\mathscr{(kA)(\alpha)=K(A(\alpha))=KA(\alpha)}$

注： $k\mathscr{A}$ 还是线性变换

规律：

$(kl)\mathscr{A}=k(l\mathscr{A})$

$(k+l)\mathscr{A}=k\mathscr{A}+l\mathscr{A}$

$k(\mathscr{A+B})=k\mathscr{A}+k\mathscr{B}$

$1\mathscr{A}=\mathscr{A}$

注：线性空间V上全体线性变换,对如上定义的加法与数量乘法,构成数域P上一个线性空间

线性变换的乘幂

n个线性变换 $\mathscr{A}$ 相乘,称为 $\mathscr{A}$ 的n次幂,简记作 $\mathscr{A^n}$

定义 $\mathscr{A^0=E}$

指数法则：

$\mathscr{A^{m+n}}=\mathscr{A^mA^n}$

$\mathscr{(A^m)^n=A^{mn}}(m,n\ge 0)$

$\mathscr{A}$ 可逆时, $\mathscr{A^{-n}=(A^{-1})^n},n\in Z_+$

注：线性变换乘积的指数法则不成立

一般, $\mathscr{(AB)^n\neq A^nB^b}$

线性变换的多项式

设 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0\in P[x]$

$\mathscr{A}$ 是V的一线性变换

定义 $f(\mathscr{A})=a_m\mathscr{A}^m+a_{m-1}\mathscr{A}^{m-1}+\cdots+a_0\mathscr{E}$

显然 $f(\mathscr{A})$ 是一线性变换,称为线性变换 $\mathscr{A}$ 的多项式

易证,若P[x]中 $h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)$

则 $h(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})+g(\mathscr{A}),p(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$

同一个线性变换的多项式的乘法可交换

$f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})=g(\mathscr{A})f(\mathscr{A})$

例：

1.线性空间 $P[\lambda]_n$ 中,求微商是一个线性变换 $\mathscr{D^n=O}$

平移 $f(\lambda)\to f(\lambda+a)(a\in P)$ 是一个线性变换 $\mathscr{G}_a$

由泰勒展开式 $f(\lambda+a)=f(\lambda)+af’(\lambda)+{a^2\over 2!}f’‘(\lambda)+\cdots+{a^{n-1}\over (n-1)!}f^{(n-1)}(\lambda)$

故 $\mathscr{G}_a$ 是 $\mathscr{D}$ 的多项式

$\mathscr{G}_a=\mathscr{E}+a\mathscr{D}+{a^2\over 2!}\mathscr{D}^2+\cdots+{a^{n-1}\over (n-1)!}\mathscr{D}^{n-1}$

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