SUMO 中的车辆动力学模型

SUMO 中车辆动力学模型包括两方面

longitudinal model：纵向动力学模型，描述车辆加速和减速

lateral model：横向动力学模型，描述车辆换道

在 longitudinal model 方面，由于 SUMO 主要用于研究车辆的外部行为、多车交互和交通流，对于单个车辆建模精度要求不高，可以近似看作质点，采用比较简单的 car-following model (跟车模型) 来描述车辆速度和位置变化规律。car-following model 中包含两种情况：无前车和有前车。

对于无前车的情形，车辆保持为最大速度，这里最大速度要至少考虑三方面的因素：
1. 该类型车辆本身能够达到的最大物理速度
2. 前一时刻速度经过最大加速之后在当前时刻所能达到的最大速度
3. 当前行驶道路规定的最大速度
最终的行驶速度为上述三个最大速度中的最小值。
对于有前车的情形，则要计算安全的行驶速度，保证任何情况下（尤其是前车急刹车时）车辆不会相撞。不同的 car-following model 的主要区别就在于如何计算安全行驶速度。目前 SUMO 中采用的 car-following model 为改进的 Krauss model.

在 lateral model 方面，SUMO 采用 lane changing model (参考文献）。简单地说就是以决策树的方式设定诸多换道条件，只要满足某些条件，就进行相应的换道操作。
默认的 lane changing model 是瞬间换道，即在一个 simulation step 中完成换道，直观地看就是车辆在两个车道之间瞬移。
更加精细的模型包括：

SublaneModel
Simple Continous lane-change model

具体设置可以参考 https://sumo.dlr.de/wiki/Simulation/SublaneModel#Sublane-Model

本文主要介绍 car-following model.

original Krauss model

要了解 SUMO 中默认使用的改进 Krauss model，需要先了解一下原始的 Krauss model 的建模思想。

Krauss model 来自文献:

Stefan Krauß. Microscopic Modeling of Traffic Flow: Investigation of Collision Free Vehicle Dynamics. PhD thesis. 1998

假设 $g=x_l - x_f -l$ 为 leader 与 follower 车间距，其中 $l$ 为车身长度。

如果要求车辆不相撞，需要满足

$L(v_f) + v_f\tau < L(v_l) + g \tag{1}$

其中

$v_f$ 为 follower 的速度，也就是我们需要计算的量
$v_l$ 为 leader 的速度
$L(v_f)$ 为 follower 的刹车距离
$L(v_l)$ 为 leader 的刹车距离
$\tau$ 为驾驶员从观察到动作的反应时间
$g$ 为前边定义的车间距。

为了计算 $v_f$ ，需要给出速度与刹车距离的函数表达式 $L(v_f)$ 和 $L(v_l)$ 。下边用 $L(\cdot)$ 函数在 $\overline{v} = (v_f + v_l) / 2$ 处的 Taylor 展开近似替代 $L(\cdot)$ 函数，忽略高阶项得到

$L'(\overline{v})v_f + v_f\tau < L'(\overline{v})v_l + g \tag{2}$

下边的问题就是如何计算导数 $L'(\overline{v})$ .

假设刹车时加速度为 $\dot{v} = -b(v)$ ，则有

$L'(v) =\frac{d}{dv}\int_v^0 \frac{s}{-b(s)}ds = \frac{v}{b(v)} \tag{3}$

其中的积分项对应了刹车加速度为 $-b(v)$ 情况下的刹车距离。

一般我们在计算距离时习惯将积分区间设定为时间，而被积函数为速度。这里是将积分区间设定为速度的变化区间，对时间进行积分。这样积分之后得到关于速度的函数，以便后续的操作。

将 $(3)$ 式带入 $(2)$ 式中得

$v_f < v_l + \frac{g - v_l\tau}{\frac{\overline{v}}{b(\overline{v})}+\tau} \tag{4}$

上述表达式右边 $\overline{v} = (v_f + v_l)/2$ 含有 $v_f$ ，所以需要再整理一下，得到 $v_f$ 的显式表达为

$v_f < -b\tau + \sqrt{(b\tau)^2 + v_l^2 + 2bg} \tag{5}$

其中原本的 $-b(v)$ 也替换为了最大刹车加速度 $-b$ .

上述式子就是 SUMO 中 original Krauss model 的安全跟车速度表达式，部分程序源码如下：

double MSCFModel_KraussOrig1::vsafe(double gap, double predSpeed, double /* predMaxDecel */) const {
    ...
     double vsafe = (double)(-1. * myTauDecel + sqrt( myTauDecel * myTauDecel + (predSpeed * predSpeed) + (2. * myDecel * gap) ));
     assert(vsafe >= 0);
     return vsafe;
 }

这里 $(5)$ 式右边就是安全跟车速度，记做 $v_{safe}$ 。但是，这一速度还不是最终车辆采用的跟车速度。与无前车情况类似，我们也要保证跟车速度不能超过允许的最大速度，因此要取安全速度和允许最大速度中的较小值，即