寒假讲义二：整数根

一元二次方程整数根问题

系数比较简单，而且系数限定是整数的时候，可以直接考虑利用 $\Delta$ 是完全平方求解。

系数比较复杂，先考虑考虑能不能因式分解。

系数只说了是实数，这时候不能用 $\Delta$ 是完全平方了，应该考虑利用韦达定理，或者是因式分解的结果去消去系数，再结合两根是整数去处理。

【例题】：求 $2 x^{2}-x y-3 x+y+2006=0$ 所有整数解。

这题比较简单，找到合适的主元求解就可以。

【例题】：k为正整数，而且 $\left(k^{2}-1\right) x^{2}-6(3 k-1) x+72=0$ 有两个相异的正整数根，求k的值。

系数有点点复杂，考虑直接因式分解先。 $(k x-x-6)(k x+x-12)=0$ ，直接可以解出来两个根。

【例题】：如果 $9 x^{2}+23 x-2$ 是两个连续的正偶数的乘积，求有理数x的值。

设 $9 x^{2}+23 x-2=y(y+2)$ ,y为正偶数。整数根的经典做法就是 $\Delta$ 为完全平方，移项 $9 x^{2}+23 x-\left(y^{2}+2 y+2\right)=0$ ， $\Delta=23^{2}+36\left(y^{2}+2 y+2\right)=m^{2}$ 最后配方 $[6(y+1)]^{2}+565=m^{2}$ 。计算量是有点大，但是不要怕计算，如果可以算就直接算下去。

【例题】：求所有的实数r ，使得 $r x^{2}+(r+1) x+(r-1)=0$ 的根都是整数。

系数只说了是实数，实数是我们比较难处理的（相比起整数而言）。所以这题应该想办法把实数 r 给消去，然后用 $x_1 ,x_2$ 是整数的性质求解。消去 r 的方式是联立韦达定理两式子。

【例题】：k为实数， $\left(k^{2}-6 k+8\right) x^{2}+\left(2 k^{2}-6 k-4\right) x+k^{2}=4$ 有两个整数根，求k的值。

同样系数只说了是实数，但是这题如果像上面的题目一样直接用韦达定理就麻烦了，因为这题目的系数比较复杂（带有二次），用韦达定理消不掉 k。正确的方法应该是先因式分解，这样就可以把 $x_{1}, x_{2}$ 用 k 写出来了，这时候再消去 k 就行了。最后利用两个根是整数的性质求解，反代得到 k。

【例题】：已知a,b都是正整数，关于x 的方程 $x^{2}-a b x+\frac{1}{2}(a+b)=0$ 有两个整数解，求a，b。

先用韦达定理 $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2}=a b} \\{x_{1} \cdot x_{2}=\frac{1}{2}(a+b)}\end{array}\right.$ 做一些预处理，利用第二个式子知道 $x_{1} ， x_{2}$ 同正负，利用第一个式子知道都是正整数。同时第二个式子告诉我们a，b是同奇偶的。

第一种方法：直接利用韦达定理这两个式子相减， $2 x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+a b-(a+b)=0$ ，因式分解得到 $\left(2 x_{1}-1\right)\left(2 x_{2}-1\right)+2(a-1)(b-1)=3$ ，这时候四个未知数都是正整数就利用上了，所以 $(a-1)(b-1)=0,1$ ，又根据同奇偶，得到 $a=b=1或者2$ 。代回去检验是否符合要求。

第二种方法:利用 $\Delta$ 是完全平方， $\Delta=(a b)^{2}-2(a+b)<(a b)^{2}$ 根据整数的性质得到 $\Delta \leqslant(a b-1)^{2}$ （这一步很关键），整理得到 $2 a b-1 \leq 2(a+b) \Rightarrow a b \leq a+b \Rightarrow( a-1)( b-1)=0或者1$

【例题】a,b,c是实数。已知方程 $x^{2}+c x+a=0$ 的两个整数根刚好比 $x^{2}+a x+b=0$ 两个根都大一。求 $a+b+c$ 。

和前面三题类似的思想，a，b，c都是实数不好处理，考虑消去，利用两个整数根的不定方程求解出这些整数根，然后反代回去得到a,b,c。

【例题】：求出所有的整数a，使得方程 $x^{2}-\sqrt{5 a^{2}-26 a-8} x-\left(a^{2}-4 a+9\right)=0$ 的两个根都是整数。

一般的情况下用求根公式 $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ 就可以知道如果方程都是整数根，那么 $\Delta$ 一定是完全平方数，但是现在这里一次项系数带有根号， $\Delta$ 还一定得是完全平方吗？

还是用韦达定理做一下预处理，两个根都是整数了，两根的和 $\sqrt{5 a^{2}-26 a-8}$ 自然也是整数，这时候可以放心用 $\Delta$ 是完全平方求解。

【例题】：n是自然数，关于x 的方程 $2 x^{2}-8 n x+10 x-n^{2}+35 n-76=0$ 两根为素数，求n。

结合一点点数论的分析，两根设为p q，那么由韦达定理两根之和 $p+q=4n-5$ ,右边是奇数，所以一定有个根是2，代回去就解出来n了。不要想得太复杂。

结合素数分析

【例题】：例题：是否存在质数p,q使得方程 $p x^{2}-q x+p=0$ 有有理数根？

直接利用 $\Delta$ ， $q^2-4p^2$ 是完全平方数，设成 $m^2$ （不妨设 m 非负，这很关键）。转化成 $(q-m)(q+m)=4p^2$ ，左边乘积两项是同奇偶的，所以在p是奇素数的时候， $q-m,q+m=2,2p^2或者2p,2p$ 。在p=2的时候单独讨论即可。

【例题】：已知p为质数。使得二次方程 $x^{2}-2 p x+p^{2}-5 p-1=0$ 两根是整数，求出所有可能的p。

同样利用 $\Delta=4(5p+1)$ 是完全平方数，一个小技巧是这里可以把4去掉， $5p+1$ 肯定也是完全平方数，设成 $m^2$ ，而且不妨m非负（和上题一样，这是标准的流程）。对 $5p=(m-1)(m+1)$ 的几种素因子分解的情况做讨论就可以求解了，注意讨论不要重漏。

【例题】：已知p q都是质数，且方程 $x^{2}-(8 p-10 q) x+5 p q=0$ 至少有一个正整数根，求p，q。

首先用韦达定理做一下预处理，这题告诉我们有至少一个根是正整数，其实结合韦达定理就知道两个根都是正整数（韦达定理的预处理在二次函数整数根问题里很常见，要注意）

接下来如果用 $\Delta$ 是完全平方去做就会很复杂，而且难以有效使用上p，q都是质数这个信息。正确的做法应该是根据5pq只有很少的分解因数的方法，分成四类去讨论就解出来了。

【例题】：求出满足 $2 p^{2}+p+8=m^{2}-2 m$ 的所有素数p 的正整数m。

这题比较困难，要结合数论的知识和不等式的估计的技巧。首先因式分解得到 $(2p+1)p=(m+2)(m-4)$ ,所以右边两个一定有一个是p的倍数。如果m+2是p的倍数，1° $p=m+2$ ，那么 $2p+1=m-4$ 解方程。2° $p\neq m+2$ 那么一定有 $m+2\geq 2p$ ，这个很关键，一下子把m+2提到很大，这样就会有 $m-4\leq p+\frac{1}{2}$ ，两个不等式结合一下求解m，p的范围。如果m-4是p的倍数同理可以讨论。

其他数论分析（包括证明题）

【例题】：m,n都是整数，求证： $x^{2}+10 m x-5 n+3=0$ 没有整数根。

没有整数根就是证明 $\Delta$ 不是完全平方数。 $\Delta =4(25m^2+5n-3)$ ，要证明这不是完全平方，等价于证明 $25m^2+5n-3$ 不是完全平方。

证明不是完全平方数一般是有两个思路，一个是纯代数的，证明待证的式子在两个完全平方之间；一个是数论的，证明待证的式子在mod一个特定的数的时候出现了不该出现的余数。本题中 $25m^2+5n-3$ 前两项都是5的倍数，所以很自然选择mod 5，余数是2。但是完全平方 mod 5的余数只有0，1，4，因此不可能是完全平方。

除了用 $\Delta$ 分析以外，直接对原来的式子分析也可以。假设原来的式子有整数根，对两边mod 5 就得到 $0\equiv x^{2}+10 m x-5 n+3 \equiv x^{2}+3 (mod 5)$ ,也就是说 $x^2\equiv 2 \quad (mod5)$ 同样矛盾。

【例题】：a,b,c都是奇数，证明 $a x^{2}+b x+c=0$ 没有整数根。

可以直接对原来的式子分析，假如有整数根，不管x是奇数还是偶数，左边都是奇数。但是右边是0，矛盾。

0的很重要的数论性质就是不管mod什么，它都是0。

【例题】：求 $x^{2}+y^{2}=208(x-y)$ 所有正整数解。

本题最重要的思路是，发现右边是4的倍数，所以x，y都是偶数，设 $x=2x_1,y=2y_1$ 可以把右边的系数208缩小到104。重复这样的分析，直到方程可以化成 $a^2+b^2=26(a-b)$ 。分析这个方程就比分析原来的方程容易多了。

接下来最方便的方法应该就是配方： $(a-13)^2+(b+13)^2=338$ ，左边两个完全平方在 $0^2...18^2=324$ 里面挑选，容易算出 $a-13=\pm 7$ , $b+13=17$

结合不等式估计

【例题】已知 $a, b, c$ 是整数而且和为13，并且 $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ ，求a的最大最小值。

( $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ ，设成一个k，这样b ，c都可以用a 和一个字母k 表示。）

设 $\frac{b}{a}=\frac{c}{a}=k$ ，所以 $a\left(k^{2}+k+1\right)=13$ ，整数a使得这个方程有有理数根k，所以方程 $k^{2}+k+1-\frac{13}{a}=0$ 一定有： $\Delta=\frac{52}{a}-3 \geqslant 0$ 且为完全平方，解出来 $1 \leq a \leq 17$ ，容易检验a=1和a=16的时候都有相应满足条件的b和c，所以这两个是最大最小值。

【例题】：如果 $1 \leqslant p \leqslant 20,1 \leqslant q \leqslant 10$ 并且 $4 x^{2}-p x+q=0$ 有两个奇数根，求p ，q

这题比较简单，用韦达定理就知道，p是8的倍数，q是4的倍数但不是8的倍数。

其他问题

【例题】：求出所有的正整数a，使得二次方程 $a x^{2}+2(2 a-1) x+4(a-3)=0$ 至少有一个整数根x。

（不再是两根都是整数，答案会有什么差别？）

用分解的方法是挺好的，我们知道正整数a和整数x会满足上面的方程，整理分解得到： $(x+2)(ax+2a-2)=8$ ,按照8的分解分成8种讨论（包括正负），计算并不复杂。

【例题】：设 a 为整数，若存在整数b c使得 $(x+a)(x-15)-25=(x+b)(x+c)$ 成立，求a的所有可能值。

（其实是个因子分解的问题）

当b不等于c的时候，代入-b,-c就可以有 $\begin{aligned} &(-b+a)(-b-15)=25\\ &(-c+a)(-c-15)=25 \end{aligned}$ ，所以左边给出了25的两种因子分解的方式，差都是a+15,分解25知道a+15=24,0,-24

当b=c的时候，左边 $\Delta =0$ ，容易知道这不可能。

【例题】：已知： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 是和为 9 而且互不相同的五个整数。整数x满足 $\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)\left(x-a_{5}\right)=2009$ 求出x。

分解 $2009=(-1) \times 1 \times(-7) \times 7 \times 41$

王梓瑜讲义1.22 方程（整数根）