微分中值定理

中值定理及相关定理

最值定理

若 $f(x)$ 在[a,b]上连续，则 $f(x)$ 在[a,b]上存在最大值M和最小值m

有界性定理

若 $f(x)$ 在[a,b]上连续，则 $f(x)$ 在[a,b]上必有界

$f(x)有界\Rightarrow \exists正数M_0，有|f(x)|\leq M_0$

介值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，且c介于 $f(a)$ ， $f(b)$ ，则在开区间（a，b）内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =c

推论

若函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，则存在最大值M和最小值m，又 $m \leq c \leq M$ ，则在闭区间（a，b）上至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =c

零点定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a)·f(b)<0$ ），则在开区间（a，b）内至少至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =0

推论

若函数 $f(x)$ 在开区间（a,b）上连续，且 $f(a^+)$ 与 $f(b^-)$ 异号（即 $f(a^+)·f(b^-)<0$ ），则在开区间（a，b）内至少至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =0

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内又定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意 $x \in U(X_0)$ 有 $f(x) \le f(x_0)$ （或 $f(x) \ge f(x_0)$ ），则 $f'(x_0)=0$ ， $x=x_0$ 是驻点

驻点：导函数的零点 $f'(x_0)=0$

推论

若 $x=x_0$ 是（a，b）内的可导最大（小）值点，则 $f'(x_0)=0$

罗尔定理

设函数 $f(x)$ 满足：

1、在闭区间[a,b]上连续

2、在开区间(a,b)内可导

3、 $f(a)=f(b)$

则存在 $\xi \in$ (a,b)，使得 $f'(\xi)=0$

判断使用依据：导数、等式方程

拉格朗日中值定理

设函数 $f(x)$ 满足

1、在闭区间[a,b]上连续

2、在开区间(a,b)内可导

则存在 $\xi \in$ (a,b)，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

判断使用依据： $f(b)-f(a)$ /同时出现 $f'(x)$ 和 $f(x)$

用于处理不等式

了解形式2：

设函数 $f(x)$ 满足

1、在闭区间[a,b]上连续

2、在开区间(a,b)内可导

则存在 $\theta \in (0,1)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ ，其中 $\frac{\xi -a}{b-a}=\theta$ 即 $\xi = a + \theta (b-a)$

特殊地， $\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\theta x),\theta \in (0,1),b=x,a=0$

推论：

若 $f(x)$ 在(a,b)内可导且 $f'(x)\equiv 0$ ，则 $f(x)$ 在(a,b)为常数

柯西中值定理

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1、在闭区间[a,b]上连续

2、在开区间(a,b)内可导

3、 $g'(x) \not = 0$

则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

泰勒公式

求 $f^{(n)}(x)$

法1：常见

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+……+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$

$f^{(n)}(x)=a_n*n!\ \ \ a_n=+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

法2：拉格朗日余项

带拉格朗日余项的==n阶==泰勒公式： $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+……+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 拉格朗日余项

判断使用依据：高阶等式/高阶不等式证明

导数应用

单调性

一阶导、区间性

$f(x)$ 在区间可导且 $f'(x_0)>0(<0)$

$\not =>$ 在某点附近单调增(减)

在x=0处具有一阶连续导数且 $f'(0)>0(<0)$ /在x=0处具有二阶导数

$=>$$lim_{x \to 0}f'(x)=f'(0)$

$=>f(x)$ 在x=0附近单调增(减)

极值(局部最大值/最小值)

不是所有点都大于/小于极值

$极值点可疑点\begin{cases} 驻点 \\ 不可导点 \end{cases}$

$\begin{cases} 可导点\begin{cases} 驻点 \\ 其他点 \end{cases} \\ 不可导点 \end{cases}$

若 $x_0$ 是可导极值点，则 $x_0$ 必是驻点，即 $f'(x_0)=0$

充要条件：

一、已知连续点 $x_0$ 是驻点或不可导点，则

$\begin{cases} f'(x)在x_0两侧异号\begin{cases} 左正右负：极大值 \\ 左负右正：极小值 \end{cases} \\ f'(x)在x_0两侧同号：不是极值 \end{cases}$

二、已知 $x_0$ 是驻点，则

$\begin{cases} f''(x)\not = 0\begin{cases} 若<0:极大值 \\ 若>0:极小值 \end{cases} \\ f’'(x)=0，方法失效：按定义或第一充分条件重做 \end{cases}$

凹凸性

定义：

凹： $\forall x_1<x_2$ ，均有 $f(\frac{x_1+x_2}{x})<\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$

凸： $\forall x_1<x_2$ ，均有 $f(\frac{x_1+x_2}{x})>\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$

凹凸性定理

$f''(x)<0$ ， $x \in (a,b) \to y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的 $f''(x)>0$ ， $x \in (a,b) \to y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的

拐点

	极值点	拐点
定义	局部最值点	凹凸性改变的临界点
可疑点	驻点与不可导点（一阶导）	二阶导零点与二阶导不存在点（二阶导）
必要条件	可导极值点必为驻点	二阶可导的拐点必是二阶导的零点
充分条件1	f'(x)在x0两侧异号	f‘’(x)在x0两侧异号
充分条件2	f'‘(x0)不等于0	f'''(x0)不等于0

最值

求闭区间连续函数的最值

1、求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内所有驻点和不可导点 $x_1，$ …… $，x_k$

2、计算 $f(x_1)，$ …… $，f(x_k),f(a),f(b)$

3、比较 $f(x_1),$ …… $,f(x_k),f(a),f(b)$ ，其中最大者就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值M；其中最小值就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值m

关系

①唯一极值点与最大值（或最小值）

若可导函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内仅有==唯一==的极值点，则此极值点必是最值点。

②唯一驻点与最大值（或最小值）

唯一驻点 $\to$ 极值点 $\to$ 最值点

法1：设 $x_0$ 是可导函数 $f(x)$ 的唯一驻点，且 $x_0$ 左右两侧导数异号，则 $x_0$ 必为最大值（或最小值）

法2：设 $x_0$ 是可导函数 $f(x)$ 的唯一驻点，且 $f'(x_0) = 0$ ，若 $f''(x)<0$ ， $x_0$ 是最大值点；若 $f''(x)>0$ ， $x_0$ 是最小值点。

经济应用

常见函数（注意成本、利益、利润函数的自变量为Q）

需求函数： $Q=Q(P)$ ，单调减

成本函数： $C(Q)=C_0+C_1(Q)$

Q是产量； $C_0$ 是固定成本，函数中的常数项； $C_1(Q)$ 是可变成本，是递增函数

平均成本函数 $\overline{C} = \frac{C(Q)}{Q}$

收益函数： $R(Q)=PQ$

利润函数： $L(Q) = R(Q)-C(Q)$

常见边际函数

边际成本：

定义： $C'(Q)$

经济意义： $C''(Q_0)$ 表示当产量为 $Q_0$ 时，产量Q再增加一个，成本 $C(Q)$ 将增加 $C'(Q_0)$

边际收益：

定义： $R'(Q)$

经济意义： $R'(Q_0)$ 表示当销售量为 $Q_0$ 时，销售量Q再增加一个，收益将增加或减少 $|R'(Q_0)|$

边际利润：

定义： $L’(Q)$

经济意义： $L’(Q_0)$ 表示当销售量为 $Q_0$ 时，销售量再增加一个，利润增加或减少 $|L'(Q_0)|$

弹性

定义：对一般的x，若 $y=f(x)$ 可导且 $f(x)\not =0$ ，则称 $\frac{Ey}{Ex}=\frac{dy}{dx}·\frac{x}{y}$ 为 $y=f(x)$ 的弹性函数

经济意义： $\frac{Ey}{Ex}\bigg|_{x=x_0}$ 表示在点 $x_0$ 处，当x产生1%的变化时， $f(x)$ 改变 $(\frac{Ey}{Ex}\bigg|_{x=x_0})$ %

==需求价格弹性：若需求价格弹性去绝对值或者取正，则为 $-\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q}$ ==

最大利润

必要条件： $L'(Q)=0$ ，即 $R'(Q)=C'(Q)$

充分条件： $L'(Q)=0$ ， $L''(Q)<0$

渐近线

垂直渐近线

若 $lim_{x \to a}f(x) = \infty$ ，则x=a为曲线y=f(x)的一条垂直渐近线

可疑点：无定义点

条数： $[0,+\infty)$

单侧极限存在可推出垂直渐近线

水平渐近线

若 $lim_{x \to \infty}f(x) = b$ ，则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线

条数： $[0,2]$

单侧极限存在可推出水平渐近线

斜渐近线

定义：若曲线S $f(x)=ax+b+\alpha$ ，其中 $a \not = 0$ ， $lim_{x \to \infty}\alpha=0$ ，则称 $y=ax+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线。

公式：若 $lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a \not =0$ ， $lim_{x \to \infty}[f(x)-ax] = b$ ，则 $y=ax+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线。

条数： $[0,2]$

单侧极限存在可推出斜渐近线

函数必须是一阶无穷大

最后编辑于：2022.05.21 20:21:07

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推论

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柯西中值定理

泰勒公式

法1：常见

法2：拉格朗日余项

导数应用

单调性

极值(局部最大值/最小值)

凹凸性

定义：

凹凸性定理

拐点

最值

求闭区间连续函数的最值

关系

经济应用

常见函数（注意成本、利益、利润函数的自变量为Q）

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弹性

最大利润

渐近线

垂直渐近线

水平渐近线

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