分别用递归和迭代的方式实现下述的公式：
分子部分的规律为：从第二个开始，每两个数递增一次。因此，可以用如下公式表示：
用程序计算分子中第n个数的值，如下所示：
(define (numerator-num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
分母部分的规律为：从第一个开始，每两个数递增一次。因此，可以用如下公式表示：
用程序计算分母中第n个值，如下所示：
(define (denominator-num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
既可以用递归，也可以用迭代的形式得到。
（1）递归表示
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
代码中product是过程名，term是公式中的函数f，a是起始计算值（也就是公式中的a1），b的终止运算值（也就是公式中的an）。next指的是a(k)变化到a(k+1)的规律，比如对于公式中的分子分母而言，a(k)=k，a(k+1)=k+1，因此这里的next就是进行加一操作。递归的思想是通过反复调用过程product，得到最终的结果：
用程序表示过程，可以表示为：
（2）迭代表示
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
迭代与递归最根本的区别在于：递归会不停地展开，直到完全展开，然后开始代入计算；迭代会不停的对数据进行替代，而不会展开数据。比如该段代码的公式表示为：![][7]
result值会在迭代过程中不断更新，直到最后将result输出。
因此，可以得到2中不同的递归和迭代方式。
（1）递归方式1：分子分母分别递归，最后再相除。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(/ (numerator n)
(denominator n))
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (numerator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product numerator-num 1 fractions-next n))
(define (denominator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product denominator-num 1 fractions-next n))
(define (numerator-num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator-num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
（2）递归方式2：分子分母看作一个整体，再进行递归。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/math pi))
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product fraction-num 1 fractions-next n)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (fraction-num n)
(/ (numerator_num n)
(denominator_num n)))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
（3）迭代方式1：分子分母分别迭代，最后再相除。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(/ (numerator n) (denominator n))
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (numerator n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product numerator_num 1 fractions-next n))
(define (denominator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product denominator_num 1 fractions-next n))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
（4）迭代方式2：分子分母看作一个整体，再进行迭代。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product fraction-1num 1 fractions-next n)
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (fraction-1num n)
(/ (numerator_num n)
(denominator_num n)))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
分别使用上述迭代和递归方法，计算n=1000，重复计算50次，记录下每次运算时间，如下图所示。
[7]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?(itera_{1}result)=(itera_{2}(f(a_{1}){\times}result))=(itera_{3}(f(a_{2}){\times}result))
