前一篇：数学思想方法揭秘-3-4(原创)。回前言。

作者：王国波

高中题

    第14题

2018上海高考数学填空题第12题。这题我觉得不错。

思维过程

  首先观察题目，根据题目条件和问题，想到什么？ 平方和为1，联想类比到圆方程（圆是两实数平方和为正数常量的几何解释）、坐标、三角函数正弦与余弦平方之和为1，x1x2+y1y2=1/2,也能联想到余弦cos(a-b)的公式这些知识点。看到最大值的式子想到什么？好像和自己学过的什么东西有似曾相识的感觉，在大脑中比对匹配和哪些知识点比较相似，其实看到这个式子要能联想类比到‘点到直线的距离公式’这个知识点，这个最大值的式子和点到直线的距离公式长得很像很接近，按数形结合中提到的数转化成形，这个代数式子的两个组成部分的几何解释就是直角坐标系中点到直线的距离。所以这个题目是求圆上两点到直线x+y-1=0距离之和的最大值，也就是把问题转化为求两个点到直线距离和的最大值。转化/化归是非常重要的数学思想方法。

通过观察、联想类比、转化、对应，思路已经清晰。设x1=cosa, y1=sina,x2=cosb，y2=sinb.

x1x2+y1y2=1/2,就是cosa*cosb+sina*sinb=1/2, cos(a-b)=1/2,也就是a-b=60度，别考虑-60和其他度数，用60度已经够了。两个角之差为60度，也是个不变的约束。求圆上两点到直线的距离之和，很自然想到数形结合，画图如下，也就是构造(创造)产生如下图形。两个点(x1,y1)、（x2、y2）到原点的直线，其夹角为60度。

观察上图，可以直观的看出如果两个点都在第1象限(AB小圆弧)，它们到直线AB（其方程为x+y-1=0）的距离肯定不是最大，继续观察如果有个点在第1象限，另一个点在第2或第4象限，距离和也不是最大。也就是只能在2、3、4象限才有可能最大。

此时这些直角坐标已经意义不大，我们重新画图，把直线AB画成水平线，如下图，便于观察思考。先前观察已经得知两个点在小圆弧AB上距离和不可能最大，只有在AB大圆弧上才有可能。此时分3种情况，第1种情况是两个点都在AM圆弧上，第2种是一点在AM圆弧上，另一点在MB圆弧上，第3种是两个点都在BM弧上，这和第一种类似，是对称的，结果是一样的，不用再重复考虑。

对第1种情况运用运动(动态)思维，运动，让事物动起来，从静止到运动或速度从慢到快等都是运动，运动思想就是辩证法中运动发展变化的思想，让事物发展变化，把题目条件变一变，或让一些变量值或参数值或影响因素从小到大逐渐变大或相反从大变小，和函数思想也有联系。在事物的运动过程中或变化发展过程中观察/发现其中隐藏的规律和特点或相互联系。具体在这个题目中，运动思想就是让点动起来，想象点C、D如上图顺时针沿圆弧运动。观察它们在运动中的规律和变化趋势。C1点和D1点到圆心O的夹角为60度，保持夹角不变，想像C1运动到C2点，D1运动到D2点，通过观察和比较，显然C2、D2点到直线AB的距离和比C1D1的大，也就是随着向上顺时针运动，距离和是增加的，这种情况最大值时的点为C3、D3（D3和M点为同一点）。当然不用这种方法，也可用余弦函数的增减性得出其增大趋势，但用这种运动加形象思维的方法更直观高效。在运动中发现规律和解题突破口，有些图形会随着参数的变化而变化，那我们就让参数变化，分析对应的曲线如何运动变化，例如抛物线开口随着二次系数的变化其开口会扩张和收缩，随着常系数c的变化抛物线随着Y轴平移，直线随着斜率变化而出现旋转。我们就在这些运动过程中捕捉它们的变化规律和趋势。如果涉及到几何图形，一般可结合形象思维的直观性来获得洞见，例如这题。另外运动思想/变化思想在物理题中有时也很管用，静态解决不了问题就动态，想象下事物的运动或运动趋势，从中得到洞见。

继续分析，第1种情况取最大值的两个点其实是第2种情况下的特殊case，所以我们只考虑第2种情况。如上图下部分图形，设角COM为a，则角MOD为60-a。

园半径为1，GE=HF=ON=根号2/2，CG=CO*cosa=cosa，DH=cos(60-a）.

距离和CE+DF=CG+GE+DH+HF=cosa+cos(60-a)+根号2=2*cos30度*cos(30度-a)+根号2=根号3*cos(30度-a)+根号2，最大值为根号3+根号2。

这题是填空题，不需要严谨的证明，对填空题，也可借助直观的几何图形，直觉得出CD平行于AB时取最大值。

简友留言提示，补充另一种方法，几何法。

如下图，作垂线，EF就是梯形中位线。

总结：这道题所用的数学思想方法：联想、类比、转化、数形结合/形象思维、运动思想、分类、对称、比较。

数形结合，数学大师华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明揭示数之间的某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是以数解形，而第二种情形是以形助数。

数形结合思想也好理解，既然数中有形，形中有数，这就是数和形的关系，它们可相互转化，在第9题中说过要想办法利用好关系来解题，那我们就应该尝试利用数与形的关系来解题。

这题中的数形结合也隐含使用了构造法这种数学思想，构造出如上的几何图形。关于构造法的进一步说明见第16题。

  第15题

证明102的103次方大于103的102次方。

思维过程

这题就是具体中的复杂，其它数学思想方法例如联想、类比等似乎对此题都不管用，直接计算似乎也不行，除非用计算机，常用计算器会溢出。怎么处理？常用处理手法前面已经说过。碰到这种数字大，变量多，一种是向下简化，把数字变小，用简单的数字来研究下其中的规律。

这题用向下简化的手法解决不了问题，只能发现从3开始，3的4次方大于4的3次方。联想到数学归纳法，递推法，试一下也不行。看来还是只有回到先前提到过的，向上抽象。

把这题推广泛化，向上抽象，建模，建立的抽象模型如下图，把题目中的数量之间的关系用抽象的模型表达出来，证明方法也在图中。

  求函数导数很容易证明函数f(x)在x >= 3（更严格是x>e）时是递减的。

  抽象问题解决，把m=102代入抽象定理中就完成证明。

  上图中从m的（m+1）次方 > （m+1）的m次方到（m+1）lnm > mln(m+1)的变形体现了转化，把不好处理的变成比较好处理的，另一方面穷则思变，不变没思路没出路，必须要变，必须要寻找变化的手段，怎么变，这里我们联想到取对数。从（m+1）lnm > mln(m+1)到lnm/m > ln(m+1)/m+1的变形体现了分类分组思想，将m和m+1归类到两个组，就变成了lnm/m > ln(m+1)/m+1。接下来要能敏锐发现lnm/m > ln(m+1)/m+1中大于号左右两边具有同构特征，它们具有相同的(统一的)结构模式，根据这个同构特征，可以抽象出模式:函数lnx/x，证明该函数的递减性即可。

总结：抽象、转化/变换、分析法（因果关系/充分条件/必要条件/充要条件）推理、函数思想、联想。这题中也隐含使用了构造法，构造出函数f(x) = lnx/x.关于构造法的说明见第16题。这题中函数求导，微积分中的求导这个知识点就是处理这个抽象对象f(x)的工具，不要怕抽象，再次证明我们在抽象面前不是手无寸铁，此题中，我们在具体复杂性面前才是手无寸铁，对具体无可奈何，这题用抽象反而简单反而能解决问题，再次利用抽象中的简单性来解题。

不变(恒定固定)和变，是一对矛盾。讲辩证，矛盾通常并不是贬义词，矛盾通常并不是不可调和的你死我活的冲突，就是两种相互制约、相互联系相互依存相互转化的两种性质的因素而已，就是阴阳，就是男女，就是正电和负电，它们很多时候还要相互依存才能和谐平衡，孤阴不生，孤阳不长，失去一方，另一方也长久不了。天行健，宇宙也是运动的，发展变化的，不变是不可能的，随着时间，事物每天都不一样，人也每天在成长和衰老 ，但变中有不变，变化中有不变的规律，不变的联系和相对不变的本体、道。宇宙都是变化的，我们既然讲辩证，变化就并不可怕，我们要接受变化并利用好变化，我们人类是有智慧的，发明了很多办法和工具来掌控处理好变化，利用好变化，有时还要主动变化，从变化中寻找规律。学数学，不应该偏爱具体、常量、有限有界，不喜欢&害怕抽象、变量、无限、无穷，要统一的平等的辩证的(我们一直被教育要辩证看问题，为何还是不能辩证的平等的看待矛盾的双方)来看待这两组概念和这两组对象。如果偏爱前者，裹足不前，那就是不讲辩证，用非数学领域的观点或幼儿时期形成的肤浅的感性认识来认识数学来学数学，还徘徊在数学的大门之外来看数学问题，认为前者简单可控，后者不好掌控。其实是没吃过前者的亏，没体验到后者的好，没体验到符号字母、变量和抽象的一以概之和普适性、简洁性、弹性表达性，没体验到方程的好处，特别是没体验到处理变化描述变化的非常有用的数学工具：函数、微积分等知识的好，没深刻体验到抽象思维的好，还在用小学低年级的算术思维来学初高中乃至大学数学；对通过抽象产生的抽象数学模型，我们也能运用很多数学知识点和手段来进行处理，所以从初高中开始不应该还有这样的偏见和习惯。数学思想方法的最高宗旨也是变，数学思想方法中的‘’转化‘’也是为了变，很多情况下，变比不变好，抽象比具体好；很多时候寻找事物之间的联系/关系，建立关系，挖掘出关系也是为了能利用关系来进行变化，从而把事情从不好办变成好办，把问题从不好处理变成好处理。

不要自己限制自己的思维，不要自我设限。心包万物、心包万理，心生万法，心物一元，心游万仞，整个宇宙包括各种规律都是可以被人类所认识，无边无际的宇宙都可以在你脑中在你思维中，天人合一天人相应，就看你是否悟道和层次高低。

在数学中也是这样，数学中的复杂性可变性抽象性也是可以被刻画被描述被掌握的，现在无法掌握，心生万法，以后肯定会有。对未知变量，无论是有界和无界，还是无限无穷，是连续还是离散，我们可以用变量(任它未知、可变、无限大、无限小、无限远、无边无际，似乎感觉很难办，但在数学中用几个x、y、z这样的符号就轻松囊括了它，收服了它，代表了它，化解了它，举重若轻，都可装在我们的思维乾坤袋中)、方程、函数、函数论、泛函分析来描述刻画它们，来指代它们，来研究它们；对各种变化，可以用微积分等数学工具来研究它，来掌控它们，它们逃不出我们的思维手心。所以在数学中，不要害怕抽象、不要害怕未知、不要害怕变化、不要害怕无限。

这题可加深对抽象和具体、变与不变的辩证关系的理解。

第16题

思维过程

  观察， 发现是个3元二次方程组，不好直接解出来，并且题目目标也不是要求x、y、z的值，是求两两乘积之和。调整思路，发现了啥，1+2=3、联想到a的3次方 - b的三次方=（a-b）(a的平方+ab+b的平方)，有些似曾相识的地方，但用这些发现的线索和知识点也不好解题。

  在脑中继续搜索知识点进行比对/比较：联想到余弦定理和这个很相似，再进一步确认是120度角的三角形。数形结合中提到的数转化成形，这三个代数方程式的图形化的解释、几何解释就是三角形余弦定理，夹角都是120度，我们构造如下几何图形，形象思维/数形结合，x、y、z是三角形的边长，把方程转化成几何图形。ABC是直角三角形。

在三角形中，xy是啥，它是三角形两条边的乘积，联系联想到三角形面积知识点中有根据两条边的乘积计算面积的公式：1/2xysin120这个式子对应的几何解释/几何意义就是三角形的面积(三角形面积等于1/2*两个边长的乘积*夹角的正弦，此处根据两边长乘积xy联想到这个面积公式是见微知著的联想，从局部联想到整体，小中见大，窥一斑而见全豹)，此处的三个夹角相同，都是120度，联想到可以提取公因数。3个小三角形的面积之和等于直角三角形ABC的面积。

总结：观察、联想、类比，碰壁再调整思路，数形结合、构造、转化。这个代数题通过数形结合，综合运用代数和几何图形。

这题中的数形结合也体现了或者说综合运用了构造法思想，根据题目的题设(已知条件)特点，返本归元返本溯源，对应地构造出几个三角形结构，根据此题的结论和解题目标，构造出对应出三角形面积。先前说过转化是一种基本的很高层次的数学思想方法，其他数学思想方法其实是实现转化的一种手段。数形结合思想、构造法思想也是最终体现了转化变化的数学思想，这题通过数形结合和构造法，将代数问题转化为几何图形和几何问题，将问题从一个领域(范畴)或一种形式转到另一个领域或形式，或将一个领域或形式的问题，延伸出、变化出额外的领域或形式，综合交叉多个领域或形式来一起解决问题。

这题和前面的第14题都是用了数形结合思想，都是数转化成形，结合形来解题。反过来，形结合数的情况就更多了，几何题几乎大多都涉及到各种代数运算和变形。

构造法：根据题目的题设(已知条件)和结论的特点、联系、特征、性质，运用数学思想方法(例如联想、类比、抽象、数形结合等等)，转化问题(不熟悉变熟悉、局势从不好变好、未知变已知、复杂变简单、晦涩隐含变明确清晰、抽象一般变具体特殊或相反)，在使用常规方法的定向思维受阻时，从新的角度用新的观点观察、分析、理解审视数学问题中的条件和结论，使用题目中的已知条件为原材料，运用已有知识点和理论作为工具，主动果断地重起炉灶，另辟蹊径重新溯源而上，灵活巧妙构造出、创造出恰当的满足条件或结论的新的数学模型(此题是构造出几何图形，在第14和15题中也隐含运用了构造法，14题是构造出几何图形，15题是构造出函数f(x) )。

这些数学模型可能是图形、图表、集合、方程、函数、数列、等式、不等式、向量等等，不限形式，没有固定的形式，是非常发散的，这也体现了构造法的创造性、跳跃性。基于这个新的构造物来进行思考，把思考重心从原题挪开，跳到这个模型上，围绕这个模型来解决问题。通过构造，转化了原问题，原问题的结论是这个模型结的一个果实、开的一朵花。很多解题思维过程中和数学思想方法中都隐含有或显式就具有或综合运用了构造法思想或转化(化归)变化思想，所以在第一篇漫谈中提到转化和构造法是两种基本的高层的数学思想方法。

第17题

    三角形ABC，BD垂直于AC，BE是角ABC的角平分线，F是AC中点，四个角相等（角ABD、DBE、EBF、FBC），求角ABC的度数。

思维过程

  数形结合思想中，形中有数有关系，那就计算，列方程等等，代数中的东西都可用。

  几何题，表面看起是形，但形中有数，形也对应数，通常离不开数，任何事物包括虚拟的事物，都有形，都有数，就看你是否能发现并加以利用。几何题中各种数学对象（角度、长度、面积等等）之间都存在各种数量关系，对几何题应该要重视数形结合思想。’得意忘形’，加辅助线和几何变换改造了几何图形的格局之后，观察提取了几何图形中的关系、特征之后，把这些关系、特征、已知条件翻译转化成数学语言之后，才可以忘形，后面就是计算和推理。

  观察图形，可以发现有个统一的模式，那就是AD、DE（等于AD）、DF、DC和高BD都有三角函数正切(tan)的关系，并且结合题目目标，所求的答案也是和角度相关，感觉方向思路是对的。另外也可反问自己如何利用好发现的形方面的这些关系，就激发自己想到数形结合，把形中蕴含的数方面的特征表达出来，也就是用三角函数正切表达出来。解题方法如下图。 

这个角ABD的角度符号不好打字，这里用a来代替。在这道题的解题过程中间，要能观察发现题目中的2a=3a-a，并利用这个发现的特征线索。这个特征看上去微不足道，但别轻视忽略它，要见微知著，有些观察发现的微不足道或不起眼的关系、特征、规律或蛛丝马迹，不要轻视忽略它们，这些都可能是解题的线索和已知条件，要把它们用数学语言翻译出来表达出来，抽象出来，这个2a=3a-a就是关系的表达形式，把发现的关系翻译成转化成数学中的等式，还要写在草稿纸上,可视化。这样就从视觉上提醒你，不要藏在脑中，藏在脑中就容易被忽视，它们有时会起到重要的作用，这个也是经验之谈。

  其实我当时解题时看到上图中的2tan2a= tan3a-tana这个等式，发现式子中的2a=3a-a，在脑子中立马联想到了三角函数正切公式tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanxtany，脑子迅速意识到下一步等式两边会出现tan3a-tana相约的情况，不需要草稿纸，这样一下子就把解题路径打通了，形成了通路，快速越过了难走的泥泞道路，推进问题解决。这个类似下棋，高明的棋手能在脑子中推演后面的棋局，或从直觉上感觉到、洞见到、预见到后续几步的局势发展情况，当然首先要有这样的思考习惯：在大脑中"走几步"。要培养锻炼这样的数感、思维习惯、思维能力包括直觉思维能力。

  另外我们用综合法进行逻辑推理，也是"走几步"，一步步逼近问题答案和目标，有时综合法结合分析法乃至排除法，让它们在中途点相遇。有时要运用合理推理、合理猜想、合理假设来从多种可能性中选取问题下一步最可能的情况进行试探，用最可能的情况来猜来试探。注意此处的合理，合理是在符合一定的逻辑和约束之下做出的一些合情合理的选择、判断或一些猜测。合理假设，举个例子，我们用待定系数法来进行因式分解，就体现了合理猜想和合理假设，实际上是先合理猜想合理设想出这个因式分解大体上的结构模式(结构上的总体框架模式)，但在具体的细节层面还不确定，也就是系数未知还不确定，后面再运用对应和方程思想来确定系数。在待定系数法中的未知系数过多，并且方程次数超过2次，例如3次或4次的复杂情况下用蛮力解出这些系数是比较难的，此时要继续用合理假设和实验法来把部分系数(也是方程中的未知数)设置成几种最可能的具体数值来进行试探，因为因式分解出题人通常就是按最可能的情况来出题的。实验法在因式分解中也有另外的运用，有些因式分解，特别是超过2次的或多元的，有时也可以用求根法，也就是把式子当做方程，用几个特殊的具体数值(例如x=0、1、2、3、-1、-2等)或x=y代进去，实验一下看式子是否为0，如为零，则必有因式:x-根，例如x-2。有时因式分解，我们在草稿纸上使用待定系数法和求根法得出答案，但在写到试卷上和作业本上时，可以写成用拆项法，这就体现了里与表的辩证。

    有时在解题第一步或中间步骤可能出现多种方案，特别是等式变形，可能有几种变形方式，我们也可在大脑中很快对每种变形方式预先走一两步，比较评估下每种方式，再做出选择，有些题通常是看到题目，一两秒就直接知道可行的方案了，做出正确的决策。

  前面的一些题，我们在数学思想方法指导下找到解题突破口和关键的解题操作之后，很快就感觉豁然开朗，解题局势大变样，其实这也是我们的思维在解题突破口和解题操作基础上，走了一两步的结果。例如第7题，我们通过联想将多面体拆开之后，立即就觉得此法可行；第13题，加辅助线之后，立即觉得形势好转。

  解题和警察破案有些类似，通过各种手段收集提取各种线索和证据，包括到案件现场勘验、查看视频监控，调查被害人和犯罪嫌疑人的情况特征和社会关系(例如家庭关系、朋友关系和关系人之间的通讯记录)，展开推理和推测，用证据验证自己的推理，进行扬弃。

再次强调：关系关系关系、关系思想。从一定角度上看，除了对象和属性的数值信息，一切皆关系,对象之间，对象内部都存在各种关系。我们学过的知识点中几乎都存在关系或者说是对关系的刻画和表达，例如长方形面积等于长乘以宽，各种定理、等式、函数、方程、公式、结构、模型、问题已知条件和特征特点、规律、图形中都存在关系都表达了关系。问题和知识点之间、知识点和知识点之间、概念之间，概念和知识点之间、问题和问题之间也是如此，关系无处不在。从上面的这些解题过程中可知，发现和挖掘出题目中隐藏的关系，研究好关系，利用好关系，处理好关系极其重要，可以说关系决定成败。

结尾

    学数学关键是为了锻炼数学思维，培养严谨性、全面系统性、批判性等思维品质，从初等到高等数学，工作之后我们大多数人能用到多少数学知识？还记得多少数学知识？知识是容易忘记的，但通过数学学习锤炼出来的对数学思想方法的领悟掌握和思维严谨性、灵活性、全面系统性、批判性这些思维品质，即使不从事数学教育和当数学家，这些思维品质在各行各业中都是不可或缺的，例如在软件行业，看到很多思维混乱，逻辑性差，思维不严谨的人，他们就是数学教育失败的受害者。

    具体的解题过程就讲完了，再总结下，做到4个善于：

    第一善于观察：善于发现和挖掘题目中隐藏的解题线索和蛛丝马迹：特征特点、规律、关系、充要条件。找关系找联系很重要，关系、联系很重要。如果没有关系，没有联系，就要找出对应的关系，找出对应的联系，甚至主动创造关系，主动创造联系。关系/联系通常是存在于多个对象(两个或两个以上)之间的，有时题目中缺少关系，甚至缺少联系对应的对象，例如题目中只有甲对象(元素)，没有甲对象关联的乙对象，此时我们就要通过联想、类比、对偶等数学思想方法积极主动找出关联的乙对象，再让甲乙发生关系建立关系；

    第二善于变化：善于运用各种数学思想方法和解题策略指导我们进行变化(转化转换)，通过变化处理好利用好题目中的已知条件、特征特点、规律、关系、结论和答案，在变化中找到解题突破口和解题思路。

    第三善于反思总结。

    第四善于自学。

通过3篇博客，基本上对大多数数学思想方法以及解题策略都有所涉猎，对逻辑推理中的因果关系思想在上面的解题思维过程中也有运用，体现因果关系思想的综合法(由条件到结论)和分析法(由结论/答案反推必要充要条件)在学校的教学和解题实践中用的很多，在几何、代数中都有广泛的使用。对构造法思想也有初步讲述。关于估值思想、主要-次要抓关键等策略的运用示例，合理推理和合理猜想、解题过程中的反思的实际运用(就是在解题过程中碰壁时，对当前方法进行反思否定，包括反思是否把题目中的已知条件用好用足，从而调整和改变解题方法，最终解决问题)，有空在数学思想方法揭秘-4中讲述，代数中的待定系数法其实体现的就是合理推理、合理猜想和对结构模式的假设，普通的因式分解题，常人一眼就能看出是否要使用待定系数法，但有些竞赛题要靠对待定系数法有本质的理解和洞见才能有意识地想到用它，才能用对它，因为这些题出的很巧妙，从题目表面上看，从形上看，它不是因式分解题，难以看穿它要用待定系数法。原因就在没有提炼出待定系数法背后的本质和没有自觉联想到使用它。除此外，不限于待定系数法，其他类型的题目有时也要运用合情合理的推理、猜想假设/估算估值、实验、从模糊逐步到精确等方法相结合才能找到解题突破口。

  需要注意的是，没有哪种数学思想方法是万能的，法无定法，运用之妙，存乎一心，对具体的数学题，我们一般是综合运用多种数学思想方法和解题策略来引导我们的思维过程。

  真掌握了这些思想和解题策略，我们几乎就是出题人肚子中的虫虫，和他们一个鼻孔出气，能较快识破看穿他们当时出题的伎俩，虽然没见面，也能有会心一笑的感觉和共鸣。最关键的是通过用正确的数学思想方法来锻炼思维能力，培养自学能力，思维灵活，养成良好的理工科思维品质，以后在大学阶段理工科学习就如虎添翼。

    道不远人，数学思想方法的学习就是一个闻道，然后悟道的过程。开始闻道，感觉道在天边，对这些不熟悉，但只要你在实践中用心体会它，有意识的去训练它运用它，格物致知，日久成自然，可能有一天就顿悟了，就真正消化领悟了，这些思维模式就成为潜意识中的习惯了，此时道和你合二为一。有人说观察力和联想能力或其他能力不行，缺啥补啥，那你就有意识的去训练这方面的能力，去通过上面的解题思维过程体会如何联想等等这些。

  上士闻道，勤而行之，下士闻道，大笑之。信手写来，加上写作水平一般，造成有些章节位置排版不合理的地方，又想力图讲清楚，造成有较多重复的地方，但如果感兴趣，可以把数学思想方法的三篇文章完整多读几遍，特别是第一篇和第三篇，前后联系起来读，应该会有所收获，有所领悟后再去解题实战中运用，在实践中进一步加深对数学思维之道的领悟和体会。有些观点虽然有些偏颇偏激片面，其实是想针砭时弊，不妥的地方多包涵。

  小初高的题再扩充下数量，每种数学思想方法为主一个章节，把内容重新整理下，可以出三本分别适合小学、初中、高中的数学思想方法的思维训练书籍，它们涉及到的思想方法基本上是一样的，只是考察的知识点有所不同。

  思想方法是思维之道，教育的目的是要传道悟道，至少要悟学科思维之道，有的甚至进一步悟人生之道，悟宇宙之道，要有悟性，要提高悟性。

  看过一些数学思想方面的书籍和文章，说实话，不满意，感觉深度和广度都不够，几乎难以看到有醍醐灌顶让人思想通透，让人有与君一席谈胜读十年书的感觉的书。会当凌绝顶，一览众山小，这篇文章融汇哲学思想，较全面深刻地对数学思想方法和解题策略做了较深入浅出的阐述，帮助我们从高屋建瓴的层面用高观点来进一步理解数学思想方法和解题策略。并用亲身的解题思维过程来讲解如何灵活运用数学思想和解题策略，都是用自己的语言来讲，是我如何学数学的肺腑之言经验之谈，彻底揭开数学学习和数学解题的真谛，这也是我很久之前就想做的。

下篇：数学思想方法揭秘-4(原创)。

王国波2018.7.14于广州