已经穿越过了除法浪漫阶段学习的小贝壳，对于除法运算有哪些认识呢？

儿童最早对于运算的认识，并不来自于抽象的数与数之间的关系表达，而是具体的动作操作过程。与加减乘法一样，除法也可以放到动作操作中去理解它的本质含义。在浪漫阶段小贝壳们已经认识到了除法既可以表示“平均分”有可以表示“包含除”，但这个理解仅仅是在具体的操作活动中，如果在故事情景中又该如何描述呢？小贝壳们还不清楚。

在棋子拆分游戏中小贝壳们已经感受到了除法与加减乘之间的关系，但乘法与除法之间的互逆关系，还没有被他们明确感受到。

如何快速得到一个除法运算的结果，除法运算彼此之间是不是也存在着关系，这个问题也会再次引起儿童的浓厚兴趣。

随着浪漫阶段的结束，精确部分的学习正式开始。

一  如何为除法算式编数学故事？

48÷6=？这个除法算式是什么意思呢？你能结合它的含义为它编制合理的数学故事吗？

孩子们仍然需要回到棋子操作的情景中去理解平均分及包含除的含义，但这个时候的描述已经不需要动作操作了，文字语言配上图形语言可以帮助他们沟通除法的本质含义。

结合除法的平均分含义，小贝壳们很快就编织出了很多数学故事——

但是在编制包含除算式的时候，小贝壳们就遇到了很大的困难：

1.未知量和已知量分不清，48÷6=？孩子们会直接用答案8作为数学故事的已知信息：有48朵花，每个花瓶里面放8朵花，可以放6个花瓶。

2.平均分和包含除分不清，不自觉地就会用编制一个平均分故事。

3.除法算式中的份数和每份的个数中这两个量不能很好地在故事中进行解释。

我陷入和新一轮的反思中：问题出在哪里呢？结合棋子拆分游戏孩子们可以解释包含除的含义，为什么到了编故事环节，就会出问题呢？

在和多个小贝壳的对话过程中，我明白了，在我们前面的棋子游戏和日常生活中儿童更多接触到的是平均分情景，而包含除问题在儿童生活中很少遇到，即使遇到了也不会把它看成是一个除法问题，而是通过减法进行处理，前面的教学中，并没有充分唤醒儿童的已有经验，来帮助儿童从另外一个角度理解除法运算，即等分棋子游戏。

现在要儿童认识到包含除也是等分棋子的一种方法，那就要带着儿童亲自动手去感受。从这个一个情景入手，问小贝壳：小男孩完成了12根香蕉的等分活动，他是怎么分的？还可以怎么分？

孩子们不难发现，小男孩的等分方法和我们之前的等分方法不一样，这里的先确定了每份的个数而不是等分的份数。当然我们还可以每3根香蕉一份，每6根香蕉一份，每2根香蕉一份；这个时候列出的除法算式就不能用平均分进行解释了，包含除含义也就是在动作操作中被赋予了属于自己的含义，“每份的个数”这个名词就不再是画在之上的图形，而是动作操作中的一部分。

我也再次体会到低段教学过程中，千万不要妄想将一个抽象的概念直接塞给儿童，任何数理逻辑只有在动作逻辑中解释得通，才会被儿童接受。

在理解的基础上孩子们才能编出好玩的数学故事。

二 乘法与除法到底是什么关系？

在前面大量的棋子拆分游戏中，很多小贝壳们其实都已经开始不由自主地用起了乘法口诀来解释自己的拆分结果，但是要让他们说清楚除法与乘法之间到底是怎样的关系，他们立马就会犯难，这种模糊不清的感觉会让他们的非常难受。那么在这部分学习中我们就来搞定它。

矩阵图是小贝壳门非常熟悉的数学模型，他们很容易就能得到一个乘法算式。结合除法的平均分和包含除观念他们也能很快得到相应的除法算式。

在分析每个算式的具体含义中，他们发现：乘法3×4=？是已知每份的个数和份数，求总数是多少；而12÷3=4（或12÷4=3）是已知总数和每份的个数（份数）求份数（或每份的个数），两者之间存在着一种互逆关系啊！同时被唤醒的还有一年级学习的加法和减法之间的关系。

这样的沟通之后，加减乘除彼此之间的关系就更加清楚了，他们在儿童脑海中也会是更加鲜活的存在。

三  制作数字树

穿越过课程的孩子，对于数字树是非常熟悉的。如果要他们做一棵关于除法的数字树，他们会怎么做呢？

啊！说实话，挺难的。瞧瞧这稀稀疏疏生长起来的数字枝，小贝壳们还真有点不敢下笔啊！这和他们还不是很牢固的除法观念有很大的关系。有个小家伙直接留言：老师不好做啊！你看看红色笔圈起来的部分，我觉得有问题啊！但是问题在哪里呢？

是啊，加减乘法数字数的制作过程中，我们可以直接按照数的顺序依次创造数字树，但是除法好像不可以啊！12÷3=4——12÷4=3——12÷5=？不能整除啊！12÷6=2——12÷7=？好像又不能整除了！

遇到问题就是最好的学习状态！孩子们需要不断结合动作操作和实际背景去理解自己创造的每个数字树的含义。

12颗棋子只能平均分给3个人吗？还可以怎么分？于是一个新的“枝干”就被创造了出来。你发现了什么？——在棋子总数不变的情况下，如果份数越多，每份的个数就会越来越少！

如果棋子的总数从12颗变成了13颗，我还能平均分给3个人吗？14颗呢？15颗呢？在动作中儿童很快就明白了，要想整除，被除数的变化不能是随意的，每次都需要增加3颗。小贝壳们在动作中已经感受到了要想整除，被除数的变化需要每次都是除数的整数倍。当然这里的理解完全是动作化的，非抽象的。但这确是非常宝贵的经验，为我们之后的带余数除法中探索各部分之间的关系做好了准备。

如果，我想让被除数和除法都变怎么办？孩子们仍然是在动作和情景故事中去操作和感受：每增加一个人，也就是份数增加1份，总数就会增加4个……将我们的动作操作再次记录下来，就又是一个新的数字树的枝干。

没有所谓的规律总结，对于小贝壳们而言，每一个算式都可以有很多种玩法，认识到这一点就足够了。那些规律远远没有他们每一次的动作操作过程来的重要，只有在这个过程中孩子们才能感受到被除数，除数和商之间的关系。

而且每个人的感觉是不一样的——

每一种体会都是珍贵的——

还有，刚刚开始发芽的——

岁月有声，你们就是它的歌唱者！