数学随笔（第一次用本平台）

听朋友推荐说简书这里写东西比较舒适，而且支持Markdown。

在本平台的第一篇文章就用一个简单的数学推导来开场，顺带测试LaTeX公式支持如何。

练习：导出0阶Bessel函数: $J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ix\sin\vartheta}\mathrm{d}\vartheta$ 的级数表达式。

一般情况下，导出积分的级数表达式的方法是直接将被积函数展开，然后交换积分次序。但在这里我们注意到被积函数符合Euler公式的表达，因此我们在这里尝试首先利用Euler公式进行导出。那么：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(x\sin\vartheta)\mathrm{d}\vartheta+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin(x\sin\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\tag{1}$
式（1）中等号右侧第二项为其积分区间上的奇函数，故有：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(x\sin\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\tag{2}$

式（2）事实上是0阶Bessel函数的另一种常用表达方法。也就是说，至此我们的推导才真正开始。

将 $\cos (x\sin\vartheta)$ 用Taylor级数对变量 $x$ 展开，即得：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\int_0^{2\pi}\sin^{2k}\vartheta\mathrm{d}\vartheta\tag{3}$
再次使用Euler公式：做代换 $s=\exp({i\vartheta})$ ，可知（3）中的积分项，其积分区域将由实数轴的 $[0,2\pi]$ 转换为复平面上的单位圆 $|s|=1$ ，记此单位圆为 $\gamma$ ，同时此积分将由定积分转换为复平面上关于 $\gamma$ 的围道积分（Contour Integral）。

变换过程如下：
$\int_0^{2\pi}\sin^{2k}\vartheta\mathrm{d}\vartheta\stackrel{e^{i\vartheta}=\cos\vartheta+i\sin\vartheta}{=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=}\\ \int_0^{2\pi}\frac{1}{2^{2k}i^{2k}}(e^{i\vartheta}-\frac{1}{e^{i\vartheta}})^{2k}\mathrm{d}\vartheta\stackrel{s=e^{i\vartheta}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightarrow}\frac{1}{2^{2k}i^{2k}}\oint_\gamma(s-\frac{1}{s})\frac{\mathrm{d}s}{is}$

即：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\frac{1}{2^{2k}i^{2k}}\oint_\gamma(s-\frac{1}{s})\frac{\mathrm{d}s}{is}\tag{4}$
将 $(s-1/s)^{2k}$ 用二项式展开，整理得：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\left\{\frac{x^{2k}}{i\cdot(2k)!\cdot2^{2k}}\left[\sum_{n=0}^{2k} \left(\begin{matrix}2k\\n \end{matrix}\right) (-1)^n\oint_\gamma s^{2k-2n-1}\mathrm{d}s\right]\right\} \tag{5}$
按照惯例，我们将使用留数定理解决（5）中的围道积分。值得注意的是，此围道积分当且仅当 $n=k$ 时不为零。这是Cauchy积分定理和留数定理共同决定的。因为当 $2k-2n-1\geqslant0$ 时被积函数是完备的，故积分为零。而当 $n>k$ 时，做如下证明从而验证我们此处的结论：

设 $n=k+m,\,\,\,m\in\mathbb{N}^+$ ，此时被积函数在原点处有 $2m+1$ 阶奇点，则由留数定理可得：
$\oint_\gamma\frac{\mathrm{d}s}{s^{2m+1}}=2\pi i\mathrm{Res}[\frac{1}{s^{2m+1}},0]=\frac{2\pi i}{\Gamma(2m+1)}\lim_{s\rightarrow0}\frac{\mathrm{d}^{2m}}{\mathrm{d}s^{2m}}s^{2m+1}\frac{1}{s^{2m+1}}=0$
故此围道积分当且仅当 $n=k$ 时不为零。

那么立即得：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\left\{\frac{2\pi ix^{2k}}{i\cdot(2k)!\cdot2^{2k}} \left(\begin{matrix}2k\\k \end{matrix}\right) (-1)^k\mathrm{Res}[\frac{1}{s},0]\right\} \tag{6}$
即：
$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{2\pi ix^{2k}(-1)^k}{(2k)!\cdot i\cdot2^{2k}}\cdot\frac{(2k)!}{(k!)^2}$
整理得：
$J_0(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}$
此即所求0阶Bessel函数的级数展开式。

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