高等代数题选3：多项式(3)

1.判别下列多项式有无重因式：

$(1)f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$

$(2)f(x)=x^4+4x^2-4x-3$

解：

$(1)f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$

$f'(x)=5x^4-20x^3+21x^2-4x+4$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)={1\over 5}x-{1\over 5}&x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8&5x^4-20x^3+21x^2-4x+4&q_2(x)=-{2\over 5}x-{15\over 4}\\ &x^5-4x^4+{21\over 5}x^3-{4\over 5}x&5x^4-{25\over 2}x^3+10x^2+30x& \\ \hline &-x^4+{14\over 5}x^3-{6\over 5}x^2+{16\over 5}x-8&-{15\over 2}x^3+31x^2-34x+4\\ &-x^4+4x^3-{21\over 5}x^2+{4\over 5}x-{4\over 5}&-{15\over 2}x^3+{75\over 4}x^2+15x-45& \\ \hline q_3(x)=-2x-3&-{6\over 5}x^3+{15\over 5}x^2+{12\over 5}x-{36\over 5}&{49\over 4}x^2-49x+49\\ &-2x^3+5x^2+4x-12& & \\ &-2x^3+8x^2-8x& & \\ \hline &-3x^2+12x-12& & \\ &-3x^2+12x-12& & \\ \hline &0\end{array}$

$\therefore (f(x),f'(x))=x^2-4x+4=(x-2)^2$

$\therefore f(x)$ 有 $3$ 重因式 $x-2$

$(2)f(x)=x^4+4x^2-4x-3$

$f'(x)=4x^3+8x-4$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)={1\over 4}x&x^4+4x^2-4x-3&4x^3+8x-4&q_2(x)=2x+3\\ &x^4+2x^2-x&4x^3-6x^2-6x& \\ \hline q_3(x)={2\over 23}x-{79\over 23^2}&r_1(x)=2x^2-3x-3&6x^2+14x-4\\ &2x^2+{10\over 23}x&6x^2-9x-9& \\ \hline &-{79\over 23}x-3&r_2(x)=23x+5\\ &-{79\over 23}x-{79\times 5 \over 23^2}\end{array}$

$\because {79\times 5 \over 23^2}-3\neq 0$

$\therefore (f(x),f'(x))=1$

$\therefore f(x)$ 没有重因式

2.求 $t$ 值使 $f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 有重根

解：

$f'(x)=3x^2-6x+t$

$f(x)$ 有重根 $\Leftrightarrow f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公共根

$f(x)=({1\over 3}x-{1\over 3})f'(x)+({2\over 3}t-2)x+{1\over 3}t-1$

(1)若 $t=3$ ,则

$f(x)=({1\over 3}x-{1\over 3})f'(x)=(x-1)(x-1)^2$

此时 $f(x)$ 有 $3$ 重根 $1$

(2)若 $t\neq 3$ ,则

$(f(x),f'(x))=(f'(x),({2\over 3}t-2)x+{1\over 3}t-1$

$=(f'(x),({t\over 3}-1)(2x+1))$

$f(x)$ 有重根 $\Rightarrow (f(x),f'(x))\neq 1,$

$\therefore (f'(x),({t\over 3}-1)(2x+1))=x+{1\over 2}$

即 $f(x)$ 有 $2$ 重根 $-{1\over 2}$

此时 $f'(-{1\over 2})=0$

即 $3(-{1\over 2})^2-6(-{1\over 2})+t=0$

解得 $t=-{15\over 4}$

综上所述, $t=3$ 时, $f(x)$ 有 $3$ 重根 $1$ , $t=-{15\over 4}$ 时, $f(x)$ 有 $2$ 重根 $-{1\over 2}$

法二：

$f(x)=x^3-3x^2+tx-1$

$f'(x)=3x^2-6x+t$

(1)令 $\Delta=36-12t=0$ ,得 $t=3$

(2) $\Delta\gt 0$ ,则

$\begin{cases}x^3-3x^2+tx-1=0\qquad ①\\ 3x^2-6x+t=0\qquad ②\end{cases}$ 有实数解

$x^2=2x-{1\over 3}t$ 代入①可得

$x(2x-{1\over 3}t)-3(2x-{1\over 3}t)+tx-1=0$

解得 $x=-{1\over 2}$ ,代入②可得

$t=-{15\over 4}$

综上所述, $t=3$ 或 $t=-{15\over 4}$ 时, $f(x)$ 有重根

3.求多项式 $x^3+px+q$ 有重根的条件

解：

记 $f(x)=x^3+px+q$

$f'(x)=3x^2+p$

$f(x)={1\over 3}xf'(x)+{2\over 3}px+q$

$(f(x),f'(x))=(f'(x),{2\over 3}px+q)$

$f(x)$ 有重根 $\Rightarrow (f(x),f'(x))\neq 1$

若 $p=0$ ,则 $q=0$

若 $p\neq 0$ ,则

${2\over 3}px+q|f'(x)$

$f'(x)=({q\over 2p}x-{27q\over 4p^2})({2\over 3}px+q)+p+{27q\over 4p^2}$

$\therefore p+{27q\over 4p^2}=0$

即 $4p^3+27q^2=0$

$\therefore f(x)$ 有重根的条件为 $4p^3+27q^2=0$

法二：

$x^3+px+q$ 判别式 $\Delta=({q\over 2})^2+({p\over 3})^3$

$\Delta=0$ 时,

即 $4p^3+27q^2=0$

当 $p=q=0$ ,有一个 $3$ 重零根

当 $p,q\neq 0$ 时, $3$ 个实根中有 $2$ 重根

4.若 $(x-1)^2|Ax^4+Bx^2+1$ ,求A,B

解：

$Ax^4+Bx^2+1=(Ax^2+2Ax+b+3A)(x-1)^2+(4A+2B)x+(1-B-3A)$

$\because (x-1)^2|Ax^4+Bx^2+1$

$\therefore \begin{cases}4A+2B=0\\ 1-B-3A=0\end{cases}$

解得 $A=1,B=-2$

法二：

$\because (x-1)^2|Ax^4+Bx^2+1$

$\therefore x-1|Ax^4+Bx^2+1$

$x-1|4Ax^3+2Bx$

由余数定理可得

$\begin{cases}A+B+1=0\\ 4A+2B=0\end{cases}$

解得 $A=1,B=-2$

5.证明： $1+x+{x^2\over 2!}+\cdots+{x^n\over n!}$ 不能有重根

证：

记 $f(x)=1+x+{x^2\over 2!}+\cdots+{x^n\over n!}$

$f'(x)=1+x+{x^2\over 2!}+\cdots+{x^{n-1}\over (n-1)!}=f(x)-{x^n\over n!}$

即 $f(x)=f'(x)+{x^n\over n!}$

$\therefore (f(x),f'(x))=(f'(x),{x^n\over n!})=1$

$\therefore f(x)$ 不能有重根

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