【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的理解

0.引言

这篇文章其实是这两周学完Brown运动这一章后老师布置的课程论文，写的比较数学，但是不太严谨。好多地方我没看懂的也就没写上去。主要是对定义和公式的理解，梳理了一下Black-Scholes方程的推导过程。主要参考了知乎大神石川的两篇文章（见文末）。
关于几何布朗运动的直观理解可以参看随机微分方程（SDE）的蒙特卡洛模拟（Python实现）和几何布朗运动数值解的模拟

1.布朗运动

1.1 定义

定义：随机过程 ${X(t),t\geq0}$ 称为Brown运动，如果它满足如下三个条件：
$(i)X(0)=0；\\ (ii)随机过程X有平稳独立增量；\\ (iii)对每个t>0，X（t)服从N(0,C^2t)$

若 $c=1$ 则称其为标准Brown运动。

从定义我们可以知道：

1.标准Brown运动在 $t=0$ 时的状态为 $0$ ；

2.可以推出Brown运动是一个马尔科夫过程，任意 $t$ 时刻之后的状态仅和 $t$ 时刻的状态有关，而与历史无关，另外还可以证明它是鞅过程和正态过程（即高斯过程）；

3.在任何有限时间区间内标准Brown运动的变化服从均值为0，方差为 ${\Delta}t$ 的正态分布 $N(0,{\Delta}t)$ ，而且其方差会随着时间区间长度线性增加。

1.2 性质

1.1.2.1 不变性

一些简单的不变性列举。

若 $B_t$ 是标准Brown运动，则

(1)对称性： $Y_t=-B_t$

(2)起点变换： $Y_t=B_{t+s}-B_s$

(3)尺度变换： $Y_t=cB_\frac{t}{c^2}$

(4)时间倒置： $Y_t=tB_{\frac{1}{t}}$

(5)时间反向： $Y_t=B_u-B_{u-t}$

也是标准Brown运动。

1.1.2.2 Brown处处不可微

对于任给的正数M，有
$P(|\frac{X(t_0+{\Delta}t)-X(t_0)}{{\Delta}t}|\leq M)\\ =P（|\frac{X（{\Delta}t}{\sqrt{{\Delta}t}}）|）\\ =\phi(M\sqrt{{\Delta}t})-\phi(-M\sqrt{{\Delta}t})\to 0({\Delta}t \to 0)$
这可能是最好理解的性质：Brown运动是连续的，但它在任一点 $t_0$ 的导数有限的概率为0，i.e，对几乎每条样本轨道上任意一点 $t_0$ ，其导数不存在，也就是说固定 $t_0$ ，Brown运动不可导。进一步可以证明Brown运动处处不可微（证明没啃清白）。

1.1.2.3 其它性质

对书上其他的性质理解不是很深，所以来说一下在别的地方看到的性质。

(1)Brown运动的轨迹会频繁的穿越时间轴 $t$ ，即在时间轴上下波动，这一点其实就是书上对Brown运动每个状态 $a$ 都常返（a是零常返）的证明

(2)在任意时刻 $t$ ，它的位置 $B(t)$ 不会偏离正负一个标准差（ $B(0)\pm\sqrt{\Delta t}$ ）太远

2. $(dW(t))^2=dt$ 的导出

2.1 连续可微函数 $f(t)$ 的二次变分

这个概念从别的地方看的，书上只讲了Brown运动的二次变差过程，也就是 $(dW(t))^2=\displaystyle \lim_{\lambda_n \to 0}\sum^{n}_{i=1}(W(t_i)-W(t_{i-1}))^2$

定义：

考虑时间区间 $[0,T]$ 和该区间内的一个划分， $\Pi=\{0=t_0<t_1<t_2...<t_N=T\}$ 则对于任意一个连续函数 $f(t)$ ，它的二次变分（quadratic variation）定义为：
$\sum^{N-1}_{i=0}[f(t_{i+1})-f(t_i)]^2$
推论：

对于一个连续且在 $[0,T]$ 上处处可微的函数 $f(t)$ ，可以由中值定理得出 $\sum^{N-1}_{i=0}[f(t_{i+1})-f(t_i)]^2\leq max_{s\in[0,T]}f'(s)^2\cdot max\{t_{i-1}-t_i\}\cdot T$

由此，对区间 $[0,T]$ 分割足够细时， $||\Pi||=max\{t_{i+1}-t_i\}\to 0$ ，函数 $f(t)$ 的二次变分为 $0$

2.2 Brown运动的二次变分

把上述 $f(t)$ 换成 $B(t)$ 即可，Brown运动的二次变分：
$\sum^{N-1}_{i=0}[B(t_{i+1})-B(t_i)]^2$
但推论有变化:
$\displaystyle \lim_{||\Pi|| \to 0}\sum^{n}_{i=1}(B(t_i+1)-B(t_{i}))^2=T$
即，对区间 $[0,T]$ 分割足够细时， $||\Pi||=max\{t_{i+1}-t_i\}\to 0$ ，随机过程 $B(t)$ 的二次变分为 $T$ （区间长度），而不是0

理解：

对于Brown运动，其非零的二次变分说明随机性使得它的波动太频繁，以至于不管我们如何细分区间 $T$ 、得到多么微小的划分区间，这些微小区间上的位移差的平方逐段累加起来的总和(二次变分的几何意义)都不会消失（即二次变分不为0），而是等于这个区间的长度 $T$

2.3 $(dW(t))^2=dt$

综上，Brown运动的二次变分公式也可以写成 $(dB)^2=dt$ ，这是伊藤微分公式推导的关键。

2.4 $dW(t)=\sqrt{dt}Z,Z服从N(0,1)$

如何理解这个式子呢？先将其写成增量的形式：
${\Delta}W(t)=\sqrt{dt}Z$
对比一般的确定性函数 $f$ 增量和微分的关系：
${\Delta}f(t)=f'(t)dt+o(dt)$
我们发现Brown运动的增量与 $\sqrt{\Delta t}$ 成正比，与一般的确定性函数 $f$ 增量和微分的关系不同的是，Brown运动的增量和微分不再具有线性关系，也就表明在Brown的样本轨道的任意一点附近不能“以直代曲”。这也构成了随机微分方程和确定性微分方程的本质区别。

3.多元函数的泰勒展开

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某领域 $U(P_0)$ 上有直到 $n+1$ 阶的连续偏导数，则对 $U(P_0)$ 内任一点 $(x_0+h,y_0+k)$ ，存在相应的 ${\theta}\in(0,1)$ ，使得
$f(x_0+h,y0+k) = f(x_0,y_0) + (h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0,y_0) + \\ \frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})^2f(x_0,y_0)+\cdots + \\ \frac{1}{n!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})^nf(x_0+{\theta}h,y_0+{\theta}k)$

其中，
$(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})^mf(x_0+{\theta}h,y_0+{\theta}k) = \sum^{m}_{i=0}C^i_m\frac{\partial }{\partial x^i \partial y^{m-i}}f(x_0,y_0)h^ik^{m-i}\\ h={\Delta}x,k={\Delta}y$
若只需求 $R_n=o(\rho^n)(\rho=\sqrt{{\Delta}x^2+{\Delta}y^2})$ ，则只需 $f$ 在 $U(P_0)$ 内存在直到 $n$ 阶连续偏导数，便有
$f(x_0+{\Delta}x,y_0+{\Delta}y)\\ =\\ f(x_0,y_0) + \sum^{n}_{P=1} \frac{1}{p!}({\Delta}x\frac{\partial }{\partial x} +{\Delta}y\frac{\partial }{\partial y})^Pf(x_0,y_0) + o(\rho^n)$
这个公式将帮助我们导出伊藤微分公式

4.伊藤微分公式

4.1 伊藤微分公式

$Ito微分公式$ 设实函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 有二阶连续偏导数，关于 $y$ 有一阶连续偏导数，若 ${W(t),t\geq 0}$ 是参数为 $\sigma^2$ 的Brown运动，则
${\Delta}f(W(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x}dW(t) + (\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2})dt + o(dt)$
书上给出的证明条件是 $f$ 关于 $x$ 和 $y$ 都有二阶连续偏导数。

证明思路是对 $f(x,y)$ 进行泰勒展开，展到二阶，然后处理掉其中的无穷小项。具体过程就不摆了，简单的写一下思路以及理解了的点吧。

(1)从 $df=\big(\frac{dBt}{dt}f'(Bt)\big)dt$ 到 $df=f'(Bt)dBt$

前者显然是直观的微分形式，但由于Brown运动处处不可导，所以这样的微分是不可行的；

后者绕开了 $\frac{dBt}{dt}$ ，但是这样也是错误的，这是由于Brown运动的二次变分非零。当我们用泰勒展开写出它的前两项时，就明白为什么后者也是不可行了。

(2)要展开到二阶的原因

由一般函数的泰勒展开：
$f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x + \frac{f''(x)}{2!}\Delta x^2 + \frac{f'''(x)}{3!}\Delta x^3 \cdots + \frac{f^n(x)}{n!}\Delta x^n$
从第二项开始 $\Delta x^m（m>1）$ 都是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，所以可以略去，只留第一项，

而Brown运动则不行，二阶偏导会出现 $(dBt)^2=dt$ ，不再是高阶无穷小，所以无法略去；

(3)无穷小项的处理

$(dW(t))^2=\sigma^2dt+o(dt)$ ， $dW(t)dt=\sigma(dt+o(dt)^\frac{3}{2})$ ， $dt^2=o(dt)$ ，第三个显然，第一个和第二个用到了前面的2.3和2.4。

4.2 一般随机微分方程

扩散方程模型：
$dX(t)=\mu \big(X(t),t\big)dt + \sigma \big(X(t),t\big)dW(t)$
其中 $\mu \big(X(t),t\big)$ 和 $\sigma \big(X(t),t\big)$ 是 $X(t)$ 和 $t$ 的函数。

令 $Y(t)=f(X(t),t)$ ，推导随机过程 $Y$ 满足的随机微分方程：
$\Delta Y(t) = \frac{\partial f}{\partial x}dX(t) + \frac{\partial f}{\partial y}dt + \frac{1}{2} \big( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(dX(t))^2 + 2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial t}dX(t)dt + \frac{\partial^2f}{\partial t^2}(dt)^2 \big) + o(dt)$
将 $dX(t)=\mu \big(X(t),t\big)dt + \sigma \big(X(t),t\big)dW(t)$ 代入上面方程，其中，
$(X(t))^2 = \mu^2dt^2 + \sigma^2(dW(t))^2 + 2\mu\sigma dW(t)dt = \sigma^2dt + o(dt) \\ dXtdt = \mu dt^2 + \sigma dW(t)dt = o(dt) \\ (dt)^2 = o(dt)$
忽略高阶无穷小项，可得：
$dY(t) = \big( \frac{\partial f}{\partial x}\mu(X(t),t) + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sigma^2(X(t),t) \big)dt + \frac{\partial f}{\partial x}\sigma(X(t),t)dW(t)$
从这里也可以感受到随机微分方程的解往往是先猜解后验证。

4.3 几何布朗运动

设随机过程 $S$ 满足
$dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$
其中 $\mu，\sigma>0$ 为常数， $W(t)$ 为标准Brown运动，满足上述微分方程的解称为几何Brown运动。

在这里给出其解：
$S(t) = exp\{\sigma W(t) + \big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}t\big)\}$

5.Black-Scholes公式

这里省略介绍 $BS$ 公式的经济学背景，从数学上看， $Black-Scholes$ 公式其实就是在思考如何消除 $\Delta W(t)$ 。

$f=f(S(t),t)$ 满足SDE：
$df = df(S(t),t) = \big( \frac{\partial f}{\partial x}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sigma^2 S^2 \big)dt + \frac{\partial f}{\partial x}\sigma S dW(t)$
$S=S(t)$ 满足SDE：
$dS = \mu S {\Delta} t + \sigma S {\Delta} t$
定义证券组合价值为 $\Pi$ ，其满足：
$\Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial s} \cdot S \\ d\Pi = -df + \frac{\partial f}{\partial s} \cdot dS$
将 $df = df(S(t),t)$ 和 $dS = \mu S {\Delta} t + \sigma S {\Delta} t$ 代入上式，可得：
$d\Pi = \big( -\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 t}\sigma^2S^2 \big)dt$
这里 $dW(t)$ 被抵消掉了，也就是消去了瞬时收益率的风险项。

在不存在无风险套利的市场中，该投资组合的瞬时收益率 $d\Pi$ 必须等于无风险收益率 $r$ ，即
$d\Pi = r \Pi dt$
将 $d\Pi = \big( -\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 t}\sigma^2S^2 \big)dt$ 和 $\Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial s} \cdot S$ 代入上式，可得：
$-\big( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial s^2}\sigma^2S^2 \big)dt = r\big( \frac{\partial f}{\partial s}S - f \big)dt$
化简得：
$\frac{\partial f}{\partial t} + r S \frac{\partial f}{\partial s} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial s^2}\sigma^2 S^2 = rf$
上式称为 $Black-Scholes$ 微分方程。

[参考资料]

最后编辑于：2019.08.04 09:05:14

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