行列式
加边法与分解法
(中山大学,2022)计算行列式
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首先利用加边法将 转化为 6 阶行列式,然后用第一行的负一倍加到之后的每一行,最后再将第 列的 倍均加到第一列,有
(东北师范大学,2022)计算行列式
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首先容易发现
另外,由于
由此可知 ,所以当 时,有 .
(南京师范大学,2022)计算行列式
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先将 加边至 阶,然后依次将第 1 行的 倍加到第 行,再依次 将第 列的 倍加到第 1 列,可得
(兰州大学,2022)计算行列式
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明显 ,同时
而当 时,由于
由此可知 ,从而 不可逆,即 .
拆分法与递推法
(陕西师范大学,2022; 兰州大学,2022)计算 阶行列式
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当 时,显然 .当 时,由于
利用对称性,也有 ,于是
上述两式相减可得
明显上式右端对 也成立.
(安徽大学,2022; 河北工业大学,2022)计算 阶行列式
其中
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将 按照第一行展开,可得
即 ,递推可得
于是
即 是以 1 为公差的等差数列,进而
所以 .
(东北大学,2022)计算 阶行列式
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由于
由对称性可得 ,于是
所以当 时,上述两式相减可得
而明显 是关于 的连续函数,所以当 时,结合数学分析中的洛必达法则,有
相邻行相消法
(合肥工业大学,2022)计算 阶行列式
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从最后一行开始,上一行的 倍依次加到下一行,再将第一列的 倍加到之后每一列,最后将第 列的 倍均加到第一列,有
(西南交通大学,2022;重庆大学,2022)计算行列式
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从最后一行开始依次将每一行的倍加到上一行,然后按照第一行展开,就有
计算行列式
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从第二行开始,每一行的一1倍依次加到上一行,然后按照最后一行拆为两个行列式,可得