Unity中表示旋转有三种方式：四元数，欧拉角，矩阵

一、四元数

1、概念

Quaternion中存放了x，y，z，w四个数据成员，可以用下标来进行访问，对应的下标分别是0,1,2,3
其实最简单来说：四元数就是表示一个3D物体的旋转，它是一种全新数学数字，甚至不是复数。
四元数其实就是表示旋转。

1、四元数的书写格式

q = w v  这里w是标量，v是向量
另一种表示格式
q = w(x,y,z) 看到这里我们就熟悉了。

一般我们在Unity中表示旋转的方式：
c.Rotate (new Vector3(10,0,0));
c.Rotate (Quaternion.identity * Vector3.left);

2、Unity中四元数API

• 1.来把角度转化为相应四元素

Quaternion rot=Quaternion.Euler(30，60，90)；
旋转顺序是，先绕Z轴转动90度，再绕X轴转动30度，最后绕Y轴转动60度

• 2.绕指定轴旋转指定角度相应的四元素

Quaternion rot= Quaternion.AngleAxis(60, transform.forward);
意思为绕自身正方向转60度其相应的四元素，当然了，第一个参数可以是其他方向变量

• 3.两个四元素相乘，代表按顺序进行两次旋转

Quaternion rot1=Quaternion.Euler（0，30，0）；
Quaternion rot2=Quaternion.Euler（0，0，45）；
Quaternion rot=rot2*rot1；
意思是先绕y旋转30度再绕z旋转45度，所以，你要先绕哪个四元素先旋转就放最右边

• 4.四元素与向量相乘，得到的是将原向量旋转后的新向量

Vector3 to = Quaternion.AngleAxis(45, Vector3.up)* Vector3.forward    
to是将Vector3.forward绕Vector3.up旋转45度后得到的新向量

• 5.已知两个向量，求从一个向量转到另一个向量的四元数：

Quaternion rot=Quaternion.FromToRotation(Vector3.up，Vector3.forward);
这的意思是创建一个从y轴正方向到z轴正方向的旋转角度所对应的四元数
例子：
Vector3 aimDirection=(targetTrans.position – transform.position).normalized;
Quaternion rot = Quaternion.FromToRotation（transform.up，aimDirection）；
transform.rotation = rot * transform.rotation;
此游戏对象自身转向这个计算出来的偏转角所对应的四元数，如果将此至于Update中就可以做到不断对准目标

• 6.创建一个让Z轴正方向和Y轴正方向指向规定方向的旋转

Quaternion rot = Quaternion.LookRotation(Vector3.right, Vector3.down);
这的意思是创建一个让Z轴正方向指向世界坐标x轴正向，y轴正方向竖直向下的旋转角度所对应的四元数
Vector3 vr = new Vector3(1,0,0);  
Quaternion q = Quaternion.LookRotation(vr);  

void SetLookRotation(Vector3 view);
void SetLookRotation(Vector3 view,Vector3 up);

也是根据指定的向前和向上向量创建四元数，本质计算过程和LookRotation一样，
只不过LookRotation是Quaternion上的静态函数，而SetLookRotation则是Quaternion的成员函数。

• 7.已知两个由四元数代表的旋转角度，求出从一个角度渐变到另一个角度的增量

Quaternion rot=Quaternion.Euler（0，30，0）
Quaternion targetRot= rot*transform.rotation；
transform.rotation= Quaternion.RotateTowards（transform.rotation，targetRot，90*Time.deltaTime）；
意思为游戏对象的角度会逐渐向targetRot以90*Time.deltaTime的角速度(90度每秒)逐渐逼近,因为这代码并不能够在一帧中完成所以要放于update中

• 8.两个四元数之间的线性插值lerp

transform.rotation=Quaternion.Lerp（transform.rotation，Vector3.up，0.5f）；
第一个参数是起始的角度所对应的四元数
第一个参数是终点的角度所对应的四元数
第三个参数是这个过程需要多少秒

• 9.两个四元数之间的球形插值Slerp

transform.rotation=Quaternion.Slerp（transform.rotation，Vector3.up，0.5f）；
第一个参数是起始的角度所对应的四元数
第一个参数是终点的角度所对应的四元数
第三个参数是这个过程需要多少秒

• 10.旋转轴和旋转角度算出四元数

Quaternion RotateTowards(Quaternion from,Quaternion to, float maxDegreesDelta);
以maxDegreesDelta作为角度步长计算从from到[to]
根据旋转轴和旋转角度算出四元数

• 11.四元数对应的三个轴向的欧拉角

Quaternion.eulerAngles
存放四元数对应的三个轴向的欧拉角，分别是绕x轴、y轴、z轴旋转的角度

Quaternion q3 = new Quaternion();  
q3.eulerAngles = new Vector3(10, 30, 20);  
Quaternion qx3 = Quaternion.AngleAxis(10,Vector3.right);          
Quaternion qy3 = Quaternion.AngleAxis(30,Vector3.up);  
Quaternion qz3 = Quaternion.AngleAxis(20,Vector3.forward);            
Quaternion qxyz3 = qz3*qy3*qx3;  
从这里可以看出unity中旋转顺序也是按先绕x轴旋转，然后y，最后z。unity中对向量应用旋转量使用的是向量右乘，即如下：
Vector3 newV = qxyz3*v=qz3*qy3*qx3*v;

四元数实例

• eulerAngles

public class EulerAngle: MonoBehaviour
{
    // 两个物体A,B 
    public Transform A, B;
    // 默认角度 
    Quaternion rotations=Quaternion.identity;
    Vector3 eulerAngle = Vector3.zero;
    float speed = 10.0f;

    void Update()
    {
        //第一种方式：将Quaternion赋值给transform的rotation
        rotations.eulerAngles = new Vector3(0.0f, speed * Time.time, 0.0f);
        A.rotation = rotations;
        //第二种方式：将三维向量代表的欧拉角直接赋值给transform的eulerAngles
        eulerAngle = new Vector3(0.0f, speed * Time.time, 0.0f);
        B.eulerAngles = eulerAngle;
    }
}

• SetFormToRotation

注意点：不能直接obj.rotation.SetFromToRotation(A.position,B.position);因为需要实例化才能赋值给transform.rotation.

public class SetFromToRotation : MonoBehaviour {
    public Transform A, B, C;
    Quaternion q1 = Quaternion.identity;
    
    void Update () {
        //不可直接使用C.rotation.SetFromToRotation(A.position,B.position);
        q1.SetFromToRotation(A.position,B.position);
        C.rotation = q1;

        Debug.DrawLine(Vector3.zero,A.position,Color.red);
        Debug.DrawLine(Vector3.zero, B.position, Color.green);
        Debug.DrawLine(C.position, C.position+new Vector3(0.0f,1.0f,0.0f), Color.black);
        Debug.DrawLine(C.position, C.TransformPoint(Vector3.up*1.5f), Color.yellow);
    }
}

• SetLookRotation : 设置Quaternion实例的朝向。此方法的功能是对一个Quaternion的实例的朝向进行设置。

public class LookRotation_ts : MonoBehaviour
{
    public Transform A, B, C, D;
    Quaternion q1 = Quaternion.identity;

    void Update()
    {
        //使用实例方法
        //不可直接使用C.rotation.SetLookRotation(A.position,B.position);
        q1.SetLookRotation(A.position, B.position);
        C.rotation = q1;
        //使用类方法
        D.rotation = Quaternion.LookRotation(A.position, B.position);
        //绘制直线，请在Scene视图中查看
        Debug.DrawLine(Vector3.zero, A.position, Color.white);
        Debug.DrawLine(Vector3.zero, B.position, Color.white);
        Debug.DrawLine(C.position, C.TransformPoint(Vector3.up * 2.5f), Color.white);
        Debug.DrawLine(C.position, C.TransformPoint(Vector3.forward * 2.5f), Color.white);
        Debug.DrawLine(D.position, D.TransformPoint(Vector3.up * 2.5f), Color.white);
        Debug.DrawLine(D.position, D.TransformPoint(Vector3.forward * 2.5f), Color.white);
    }
}

• ToAngleAxis ：Quaternion实例的角轴表示。其中angle为旋转角，axis为轴向量。

public class ToAngleAxis : MonoBehaviour
{
    public Transform A, B;
    float angle;
    Vector3 axis = Vector3.zero;

    void Update()
    {
        //使用ToAngleAxis获取A的Rotation的旋转轴和角度
        A.rotation.ToAngleAxis(out angle, out axis);
        //使用AngleAxis设置B的rotation，使得B的rotation状态的和A相同
        //可以在程序运行时修改A的rotation查看B的状态
        B.rotation = Quaternion.AngleAxis(angle, axis);
    }
}

• Angle方法： Quaternion实例间夹角

注意：返回的是GameObject对象从后面状态（a）转换到（b）时需要旋转的最小夹角。

public class Angle : MonoBehaviour {
    void Start()
    {
        Quaternion q1 = Quaternion.identity;
        Quaternion q2 = Quaternion.identity;
        q1.eulerAngles = new Vector3(10.0f, 20.0f, 30.0f);
        float f1 = Quaternion.Angle(q1,q2);
        float f2 = 0.0f;
        Vector3 v1 = Vector3.zero;
        q1.ToAngleAxis(out f2, out v1);

        Debug.Log("f1:" + f1);
        Debug.Log("f2:" + f2);
        Debug.Log("q1的欧拉角：" + q1.eulerAngles + " q1的rotation：" + q1);
        Debug.Log("q2的欧拉角：" + q2.eulerAngles + " q2的rotation：" + q2);
    }
}

• Dot方法：点乘

用来求参数a和b的点乘。q1(x1,y1,z1,w1),q2(x2,y2,z2,w2)为两个实例则float f = Quaternion.Dot(q1,q2); 等价于f = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2.
当f = ±1 时，q1和q2对应的欧拉角是相等的，在Game视图中看他们旋转状态是一样的。
当f=1时，它们的rotation相等；
当f=-1时，说明其中一个rotation比另一个多旋转了360°

public class Dot : MonoBehaviour {
    public Transform A, B;
    Quaternion q1=Quaternion.identity;
    Quaternion q2=Quaternion.identity;
    float f;

    void Start () {
        A.eulerAngles = new Vector3(0.0f,40.0f,0.0f);
        //B比A绕Y轴多转360度
        B.eulerAngles = new Vector3(0.0f, 360.0f+40.0f, 0.0f);
        q1 = A.rotation;
        q2 = B.rotation;
        f = Quaternion.Dot(q1,q2);
        Debug.Log("q1的rotation:"+q1);
        Debug.Log("q2的rotation:" + q2);
        Debug.Log("q1的欧拉角:" + q1.eulerAngles);
        Debug.Log("q2的欧拉角:" + q2.eulerAngles);
        Debug.Log("Dot(q1,q2):"+f);
    }
}

• Euler方法：欧拉角对应的四元数

  
  
  Euler

public class Euler : MonoBehaviour
{
    //记录欧拉角，单位为角度，可以在Inspector面板中设置
    public float ex, ey, ez;
    //用于记录计算结果
    float qx, qy, qz, qw;
    float PIover180 = 0.0174532925f;//常量
    Quaternion Q = Quaternion.identity;
    void OnGUI()
    {
        if (GUI.Button(new Rect(10.0f, 10.0f, 100.0f, 45.0f), "计算"))
        {
            Debug.Log("欧拉角：" + " ex：" + ex + "  ey：" + ey + "  ez：" + ez);
            //调用方法计算
            Q = Quaternion.Euler(ex, ey, ez);
            Debug.Log("Q.x:" + Q.x + " Q.y:" + Q.y + " Q.z:" + Q.z + " Q.w:" + Q.w);
            //测试算法
            ex = ex * PIover180 / 2.0f;
            ey = ey * PIover180 / 2.0f;
            ez = ez * PIover180 / 2.0f;
            qx = Mathf.Sin(ex) * Mathf.Cos(ey) * Mathf.Cos(ez) + Mathf.Cos(ex) * Mathf.Sin(ey) * Mathf.Sin(ez);
            qy = Mathf.Cos(ex) * Mathf.Sin(ey) * Mathf.Cos(ez) - Mathf.Sin(ex) * Mathf.Cos(ey) * Mathf.Sin(ez);
            qz = Mathf.Cos(ex) * Mathf.Cos(ey) * Mathf.Sin(ez) - Mathf.Sin(ex) * Mathf.Sin(ey) * Mathf.Cos(ez);
            qw = Mathf.Cos(ex) * Mathf.Cos(ey) * Mathf.Cos(ez) + Mathf.Sin(ex) * Mathf.Sin(ey) * Mathf.Sin(ez);
            Debug.Log(" qx:" + qx + " qy:" + qy + " qz:" + qz + " qw:" + qw);
        }
    }
}

-FromToRotation方法：Quaternion变换

public class FromToRotation : MonoBehaviour
{
    public Transform A, B, C, D;
    Quaternion q1 = Quaternion.identity;

    void Update()
    {
        //使用实例方法
        //不可直接使用C.rotation.SetFromToRotation(A.position,B.position);
        q1.SetFromToRotation(A.position, B.position);
        C.rotation = q1;
        //使用类方法
        D.rotation = Quaternion.FromToRotation(A.position, B.position);
        //在Scene视图中绘制直线
        Debug.DrawLine(Vector3.zero, A.position, Color.white);
        Debug.DrawLine(Vector3.zero, B.position, Color.white);
        Debug.DrawLine(C.position, C.position + new Vector3(0.0f, 1.0f, 0.0f), Color.white);
        Debug.DrawLine(C.position, C.TransformPoint(Vector3.up * 1.5f), Color.white);
        Debug.DrawLine(D.position, D.position + new Vector3(0.0f, 1.0f, 0.0f), Color.white);
        Debug.DrawLine(D.position, D.TransformPoint(Vector3.up * 1.5f), Color.white);
    }
}

• Lerp方法：线性插值
• Slerp方法：球面插值

当参数t≤0时返回值为from,当参数t≥1时返回值为to。一般情况下两种方法使用lerp代替

public class Slerp : MonoBehaviour
{
    public Transform A, B, C, D;
    float speed = 0.2f;
    //分别演示方法Slerp和Lerp的使用
    void Update()
    {
        C.rotation = Quaternion.Slerp(A.rotation, B.rotation, Time.time * speed);
        D.rotation = Quaternion.Lerp(A.rotation, B.rotation, Time.time * speed);
    }
}

• RotateTowards 方法 ： Quaternion插值

from为起始Quaternion,参数to为结束Quaternion,参数maxDegreesDelta为每帧最大角度值。方法用于返回从参数from到to的插值，且返回值的最大角度不超过maxDegreesDelta.当maxDegreesDelta < 0 ，将沿着to到from的方向插值计算。

public class RotateTowards : MonoBehaviour {
    public Transform A, B, C;
    float speed = 10.0f;

    void Update()
    {
        C.rotation = Quaternion.RotateTowards(A.rotation, B.rotation, Time.time * speed-40.0f);
        Debug.Log("C与A的欧拉角的差值：" + (C.eulerAngles-A.eulerAngles) + " maxDegreesDelta:" + (Time.time * speed - 40.0f));
    }
}

二、欧拉角

1、概念

1-描述定点转动刚体的位形需要三个独立坐标变量，即x,y,z
2-描述定轴转动的刚体的位形只需要一个独立坐标变量即转角。
3-将定点转动的过程分解为三个相互独立的定轴转动，相应的二三个相互独立的转角，即欧拉角。

2、什么是欧拉角？

Roll 滚动角 Z轴不动

Pitch 俯仰角 X轴不动

Heading(Yaw) 偏航角 ： 就是Y轴不动

Paste_Image.png

那么使用欧拉角表示旋转矩阵
绕Z轴旋转

这里的角度是偏航角

绕Y轴旋转

这里的角度是俯仰角

绕X轴旋转

这里的角度是翻滚角

Paste_Image.png

最后乘出来

所以说：

3、局限性

欧拉角会产生万向锁bug
一旦选择pitch角为±90°，就被限制在只能绕垂直轴旋转

三、矩阵

1、概念

矩阵通常用在一些特殊的地方，例如摄像机的非标准投影。unity中仅仅提供了一个4×4的矩阵类Matrix4x4，它可以包含位移T、旋转R和伸缩信息。矩阵中的元素都对应一个mxy的公有成员变量，因而要访问单个元素的话可以直接访问其成员。同时也提供了下标访问，如下

public float this [int row, int column]  
{  
    get  
    {  
       return this [row + column * 4];  
    }  
    set  
    {  
      this [row + column * 4] = value;  
    }  
}  
public float this [int index]  

• MultiplyPoint方法：投影矩阵变换

  
  
  MultiplyPoint
  
  

• MultiplyVector方法：矩阵变换

  
  
  矩阵变换
  
  

• SetTRS方法：重设Matrix4x4变换矩阵
  使用Matrix4x4的成员函数SetTRS
  void SetTRS(Vector3 pos,Quaternion q,Vector3 s);

Quaternion q = Quaternion.LookRotation(new Vector3(0,0.5,1));  
Matrix4x4 rot = new Matrix4x4();  
rot.SetTRS(new Vector3(0,0,0),q,new Vector3(1,1,1)); 

• Ortho方法：创建正交投影矩阵

  
  
  Ortho方法
  
  
  
  

• perspective方法：创建投影矩阵

  
  
  image.png

• TRS方法：返回Matrix4x4实例

  
  

• 旋转矩阵到四元数
  使用Quaternion类的LookRotation函数
  static Quaternion LookRotation(Vector3 forward,Vector3 upwards);

Matrix4x4 rot = new Matrix4x4();  
rot.SetTRS(new Vector3(0,0,0),q,new Vector3(1,1,1));  
          
Vector4 vy = rot.GetColumn(1);  
Vector4 vz = rot.GetColumn(2);  
          
Quaternion q = Quaternion.LookRotation(new Vector3(vz.x,vz.y,vz.z),new Vector3(vy.x,vy.y,vy.z));