独立变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)，哈？

Var(X)指变量X的方差。另外这里不去考虑样本总体的区别，假定我们直接考虑的就是一组数据的方差

方差也有勾股定理？

小学的时候我们就知道直角三角形的三个边有：a^2+b^2=c^2，但是为什么两个独立变量X和Y的方差也会有这种关系呢？

Var(X \pm Y)=Var(X)+Var(Y)

首先，借助勾股定理作为一个提示去记忆X+Y的和的方差已经是不错的一种方式了。当然，推导也不是特别复杂，见下方：

鉴于连续型变量的证明需要用到积分，我们就略过吧，用离散变量意思意思就好。

Var(X)公式的变化

首先关于方差的公式，我们一般是这么写的

Var(X)=\frac{\sum{(x-\mu)^2}}{n}

而实际上\frac{1}{n}就是X取各个x值的概率。所以上式也可以写成下面的形式

Var(X)=\sum{(x-\mu)^2p(x)}=E((x-\mu)^2), 其中p(x)是X取x值的概率。

另外，因为

E(X^2)=E((X-\mu+\mu)^2)=E((x-\mu)^2+\mu^2+2\mu (X-\mu))
=E((x-\mu)^2)+E(\mu^2)+2\mu E(X-\mu)

其中E((x-\mu)^2)=Var(X), E(\mu^2)=\mu^2, E(X-\mu)=0，所以有

E(X^2)=Var(X)+E(X)^2

于是有：

Var(X)=E(x^2)-(E(x))^2

Var(X)到Var(X+Y)

然后呢，现在把X替换为X+Y试试：

Var(X+Y)=E((X+Y)^2)-(E(X+Y))^2

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

好的，由于E(X+Y)=E(X)+E(Y), well..., 为什么呢？

E(X+Y)=\sum{\sum{(x_i+y_j)f_{xy}(x_i,y_j)}}

因为对于求和运算里的加号，可以拆分：

E(X+Y)=\sum{\sum{x_if_{xy}(x_i,y_j)}}+\sum{\sum{y_jf_{xy}(x_i,y_j)}}=E(X)+E(Y)

其中f_{xy}(x_i,y_j)是X=x_i 且 Y=y_j的概率。f_y(y_j)是Y=y_j的概率

回到方差的计算, 将E(X+Y)=E(X)+E(Y)加进去

Var(X+Y)=E((X+Y)^2)-(E(X+Y))^2=E(X^2+Y^2+2XY)-(E(X)^2+E(Y)^2+2E(X)E(Y))

=E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)-E(X)^2-E(Y)^2-2E(X)E(Y)

重新排列一下

=E(X^2)-E(X)^2+E(Y^2)-E(Y)^2+2(E(XY)-E(X)E(Y))
=Var(X)+Var(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))

E(XY)和E(X)E(Y)

当X和Y相互独立的时候，我们有X和Y同时发生的概率P(X \bigcap Y)=P(X)P(Y)，而关于E(XY)有：

E(XY)=\sum{\sum{x_iy_jf_{xy}(x_i,y_j)}}=\sum{\sum{x_iy_jf_x(x_i)f_y(y_j)}}
=(\sum{x_if_x(x_i)})(\sum{y_jf_y(y_j)})=E(X)E(Y)

回到方差的式子：

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))

由于当X和Y相互独立的时候有E(XY)=E(X)E(Y)，因此上式可以得到：

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

其实E(XY)-E(X)E(Y)也就是X和Y之间的协方差Cov(X,Y)，所以X+Y方差的一般形式其实是

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

当然了，对于X-Y也有

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)

但是在X和Y相互独立的时候呢，两者的协方差为0，所以Var(X+Y)=Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)

从上面可以有一个大致的感觉：协方差是表示X和Y之间的关联的一个量。实际上X和Y的关联系数r的公式也就是：

r=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}

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