王梓瑜讲义1.19 因式分解练习

因式分解应用

例题：已知对于任意的大于2的整数 $n, n^{5}-5 n^{3}+4 n$ 都是正整数m的倍数，求m的最大值。

(n-2)(n-1)(n)(n+1)(n+2)

这是5个连续整数的乘积，一定是5！=120的倍数

排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个元素的排列数 $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) \dots \dots \cdot(n-m+1)=n ! /(n-m) !$

组合数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，从n个不同元素中取出m个元素的组合数 $C_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) \dots \dots \cdot(n-m+1)/m!=n ! /m!(n-m) !$

排列数可以看成n个人找m个拍合照，组合可以看成n个人找m个值日。拍合照需要注意顺序，值日不用。

因为组合数一定是整数，所以 $n(n-1)(n-2) \dots \cdots \cdot(n-m+1) / m !$ 是整数。也就是分子是分母的倍数。所以任何m个连续整数的乘积都是m！的倍数。

所以这题答案是120。

例题：计算： $\frac{\left(2^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(4^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(6^{6}+\frac{1}{4}\right)\left(8^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(10^{4}+\frac{1}{4}\right)}{\left(1^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(3^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(5^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(7^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(9^{4}+\frac{1}{4}\right)}$

错位相消

例题：若a是非负整数，则 $a^{4}-3 a^{2}+9$ 是合数还是素数？

首先因式分解 $a^{4}-3 a^{2}+9=(a^2-3a+3)(a^2+3a+3)$ ,如果是素数，较小的那个是1，所以 $a^2-3a+3=1$ ，解出a=1，2。分别对应原式是7，13是素数，除此以外是合数。

例题：若 $a=2016, b=2017, c=2018$ ，求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c$

（并不是因式分解，但是一个很常见的代数式）

例题：如果 $x+y+z=3$ ，求 $\frac{(x-1)(y-1)(z-1)}{(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}}$

本题两个点，一个是一直出现x-1，y-1，z-1，可以做个简单的换元

另外就是 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)$ 要牢记

最后编辑于：2020.01.22 10:23:47

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