多项式
不随数域的扩大而改变
设是有理数域上的次多项式,且它在有理数域上不可约,但知的一个根的倒数也是的根,证明:的每一个根的倒数也是的根.
proof
首先设
由于是次不可约的,所以都非零,自然也无零根.记上的多项式
若复数与均为的根,则
于是是多项式的公共复根,所以在复数域上不互素,结合互素性不随数域的扩大而改变,可知在有理数域上也不互素,而在有理数域上是不可约的,所以有而结合可知 ,所以必有,其中是一个非零常数,于是对的任一根,有
即有,即的倒数也是的根.
满足为根的最小非零首1的有理多项式是
solution
以为根的次数最小的有理系数多项式为
solution
首先构造
再构造
所以以为根的次数最小的所有有理系数多项式为其中
整系数多项式在上不可约
已知证明:若在数域上不可约,则在数域上不可约.
proof
反证法.若在上可约,不妨设,其中为中次数大于零的多项式,则
而也为中次数大于零的多项式,所以也可约,矛盾.
证明多项式在有理数域上不可约.
proof
记则
取素数,明显有
于是由艾森斯坦判别法可知在有理数域上不可约,进而在有理数域上也不可约.
设为互异的整数,证明在有理数域上不可约
proof
反证法,若在有理数域上可约,则其一定分解为两个整系数多项式的乘积,设为其中是次数大于零的首1整系数多项式.那么由
且可知,注意到,所以无实数根,进而也无实数根,于是对任意的都是同号的(都为1或者都为-1),不妨设它们都为1,则与均以为根,从而其次数均大于等于,再结合其次数之和为,所以都是次首1多项式,即
从而就等价于这等价于矛盾.
证明:在有理数域上不可约.
proof
由于为3次整系数多项式,若其在有理数域上可约,则一定存在一次因式,进而一定存在有理根.而的有理根只可能为,明显,所以不存在有理根,从而在有理数域上不可约.
证明:在有理数域上不可约.
proof
反证法.若在有理数域上可约,由于为整系数多项式,所以存在两个次数大于零的整系数多项式与使得
那么对任意的,根据可知而均为整数,所以与要么均为1,要么均为-1,即总有
这说明存在个零点、而显然,所以必有(否则不可能存在个零点),也就是说,即
这与的次数为奇数矛盾.所以在有理数域上不可约.