蒙日和非线性二阶方程
除了前面说过的二阶线性方程，数学家也在研究更一般的二阶线性方程，甚至非线性方程。线性方程一般形式为，大写字母均为x,y的函数，这个方程通常写为Ar+Bs+Ct+Dp+Eq+Fz+G=0,1773年拉普拉斯证明如果B^2-4AC≠0，方程可以变价替换为s+ap+bq+cz+g=0，然后他用无穷级数求解。蒙日考察了非线性方程Rr+Ss+Tt=V，RSTV是xyzpq的函数，即方程关于二阶导rst是线性的，他建立了一般形式的解法，并引入了特征理论，特征方程为Rdy^2-Sdxdy+Tdx^2=0，它在积分曲面的每一点上定义该点的两个特征方向。积分曲面的每一点都有两条特征曲线通过，沿其中每一条都有两个相邻的积分曲面彼此相切。极小曲面的积分法是蒙日重要成就之一。拉格朗日研究极小曲面（给定的空间曲线界住的面积最小的曲面）也出现了这类方程，形式是(1+q^2)r-2pqs+(1+p^2)t=0。
一阶偏微分方程组
流体动力学和水力学引出了一阶偏微分方程组，比如设计船体减少水中运动阻力，人们研究不可压缩流体（水）和可压缩流体（空气）解决实际问题。
1752年欧拉处理不可压缩流体，1755年他推广了这一工作，给出了关于理想（无粘性）可压缩和不可压缩流体的流体流动方程。他将流体看作连续的质点，考察受到压力为p，密度为ρ以及单位质量上外力分量为PQR的流体小体积的作用力。他用xyzt四个分量描述质点速度，建立了微分方程组，这一方法被称为空间描写。欧拉还推广了达朗贝尔的连续性微分方程，得到关于可压缩流体的方程。
欧拉在1755年的文章中认为流体运动的理论可以用分析形式得出，他讨论了一些特殊的解法，但欧拉的方程并非水力学最终的方程，70年后纳维和斯托克斯引入了欧拉忽略的粘性（即纳维-斯托克斯方程）。拉格朗日也研究了流体运动，他给出并推广了欧拉的基本方程，但把功劳归功于达朗贝尔。
在18世纪，偏微分方程组主要应用于水力学，而且成果很少。
偏微分方程学科的产生
偏微分方程早期只出现在物理问题中，1765年欧拉首次进行了纯数学的研究。
1747年达朗贝尔研究弦振动使数学家意识到特解和通解之间的区别，但那时大家认为似乎通解更重要。1799年拉普拉斯还抱怨球坐标的位势方程不能用一般形式求积分，他们没意识到欧拉和达朗贝尔在弦振动中得到的通解不如满足初始条件和边值条件的特解有用。
数学家发现偏微分方程没有什么新的运算技巧，它跟常微分方程的区别仅在于解中可以出现任何函数，他们希望把偏微分方程转化为常微分方程以确定这些函数。拉普拉斯和拉格朗日明确说，如果偏微分方程被化成常微分方程，这个偏微分方程就等于积分出来了。还有一种办法是像丹尼尔伯努利研究波动方程和拉普拉斯研究位势方程一样，寻求特殊函数的级数展开式。
18世纪偏微分方程的主要成果体现在弹性力学、水力学和万有引力问题中。除了拉格朗日在一阶偏微分方程的系统性研究，没有发展出普遍的方法，人们也没意识到特殊函数展开法的潜力。他们的主要工作是求解物理问题中提出的特殊方程，因此未形成偏微分方程解的理论。总而言之，偏微分方程学科还处于幼年时期。
