高考理数解析几何大题：安徽卷和江西卷2011~2015年

2011年理数安徽卷题21

分值：13分
设 $\lambda \gt 0$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1,1)$ ，点 $B$ 在抛物线 $y=x^2$ 上运动，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{BQ} =\lambda \overrightarrow{QA}$ ，经过点 $Q$ 与 $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.

2011年理数安徽卷题21

2011年理数江西卷题20

分值：13分

$P(x_0,y_0) (x_0 \ne \pm a)$ 是双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt 0, b\gt 0)$ 上一点， $M、N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右顶点，直线 $PM,PN$ 的斜率之积为 $\dfrac{1}{5}$ .

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为 $1$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $C$ 为双曲线上一点，满足 $\overrightarrow{OC} =\lambda \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}$ ，求 $\lambda$ 的值.

2012年理数安徽卷题20

分值：13分

如图，点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 的上半部分于点 $P$ ，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线交直线 $x=\dfrac{a^2}{c}$ 于点 $Q$ .

（I）如果点 $Q$ 的坐标是 $(4,4)$ , 求此时椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）证明∶直线 $PQ$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点.

2012年理数安徽卷题20

2012年理数江西卷题20

分值：13分

已知三点 $O(0,0),A(-2,1),B(2,1)$ , 曲线 $C$ 上任意一点 $M(x,y)$ 满足 $| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} | = \overrightarrow{OM} \cdot ( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow {OB} ) +2$ .

（1）求曲线 $C$ 的方程；

（2）动点 $Q(x_0,y_0)\;(-2 \lt x_0 \lt 2)$ 在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$ .

问：是否存在定点 $P(0,t) (t \lt 0)$ ，使得 $l$ 与 $PA,PB$ 都相交，交点分别为 $D,E$ , 且 $\triangle QAB$ 与 $\triangle PDE$ 的面积之比是常数? 若存在，求 $t$ 的值. 若不存在，说明理由.

2013年理数安徽卷题18

分值：12分
设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{1-a^2} =1$ 的焦点在 $x$ 轴上.

（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 $1$ ，求椭圆 $E$ 的方程；

（Ⅱ）设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，并且 $F_1Q \perp F_1Q$ . 证明∶当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.

2013年理数江西卷题20

分值：13分

如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 经过点 $P(1,\dfrac{3}{2})$ ，离心率 $e=\dfrac{1}{2}$ . 直线 $l$ 的方程为 $x=4$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2） $AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$ ），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$ ，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$ . 问：是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $k_1+k_2=\lambda k_3$ ? 若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.

2013年理数江西卷题20

2014年理数安徽卷题19

分值：13分

如图,已知两条抛物线 $E_1:y^2=2p_1x (p_1 \gt 0)$ 和 $E_2:y^2=2p_2x(p_2 \gt 0)$ , 过原点 $O$ 的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ , $l_1$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $A_1,A_2$ 两点, $l_2$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $B_1,B_2$ 两点.

（I）证明: $A_1B_1//A_2B_2$ ;
（Ⅱ）过 $O$ 作直线 $l$ (异于 $l_1,l_2$ ) 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $C_1,C_2$ 两点. 记 $\triangle A_1B_1C_1$ 与 $\triangle A_2B_2C_2$ 的面积分别为 $S_1$ 与 $S_2$ , 求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的值.

2014年理数安徽卷题19

2014年理数江西卷题20

分值：13分
如图, 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦点为 $F$ , 点 $A,B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上, $AF \perp x$ 轴, $AB \perp OB$ , $BF//OA$ ( $O$ 为坐标原点)

(1)求双曲线 $C$ 的方程;
(2)过 $C$ 上一点 $P(x_0,y_0)(y_0 \ne 0)$ 的直线 $l:\dfrac{x_0x}{a^2}- y_0y=1$ 与直线 $AF$ 相交于点 $M$ , 与直线 $x=\dfrac{3}{2}$ 相交于点 $N$ .

证明：当点 $P$ 在 $C$ 上移动时 $\dfrac{|MF|}{|NF|}$ 恒为定值, 并求此定值.

2014年理数江西卷题20

2015年理数安徽卷题20

分值：13分

设椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ , 点 $O$ 为坐标原点, 点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$ , 点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$ , 点 $M$ 在线段 $AB$ 上, 满足 $|BM| = 2|MA|$ , 直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$ .
（I）求 $E$ 的离心率 $e$ ;
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b)$ , $N$ 为线段 $AC$ 的中点, 点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点的纵坐标为 $\dfrac{7}{2}$ , 求 $E$ 的方程.

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高考理数解析几何大题：安徽卷和江西卷2011~2015年

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