0.9循环是否等于1？让我来介绍一下两方观点。
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有人认为0.9循环=1。理由是：
1）0.3循环=1/3，那么0.9循环等于0.3循环的3倍，也是1。
2）设x=0.9循环
10x=9.9循环
10x=9+0.9循环
10x=9+x
9x=9
x=1
3）1/9=0.1循环
等式两边乘9
1=0.9循环
4）通过证明小于0.9循环的数的集合与小于1的数的集合是等价的来证明两者是相等的。
5）通过0.9循环和1之间没有任何其他实数来证明两者是相等的。
6）11，商的第一位用0，而不用1，小数点后每一位都用9，则商为0.9循环。由于1除以1既等于1又等于0.9循环，故1=0.9循环。
此外，小学生读的书本上就是这么写的。不能理解的是九漏鱼。
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也有人认为：“0.9循环=1是否成立，取决于0.3循环等于1/3的前提是否成立。如果前提成立，则结论也成立；如果前提不成立，则结论也不成立。而这个前提是否成立取决于定义，它不是一个对错的问题，而是一个美丑的问题。”
对于前文第1）点，他们认为：“0.3循环表示一个小数，小数点前是0，小数点后是∞个3。那么，0.9循环也表示一个小数，小数点前是0，小数点后是∞个9。它跟1是有差异的。差多少呢？差这样一个小数，小数点前是0，小数点后有（∞-1）个0，最后一位是1。什么，不存在这样一个数？那么0.3循环这样一个数存不存在呢？无穷大是数不完的，因此不存在∞-1个0后有一个1？无穷不存在于现实中，循环小数也不存在于现实中。但在他们的思维中，既然可以想象小数点后有∞个9，当然也能想象小数点后有∞-1个0和一个1。”
对于第2）点，他们认为：“错误之处在于，第1行中的0.9循环表示小数点后面有∞个9。第3行中的0.9循环表示小数点后面有∞-1个9。两者不是相同的。其所犯的错误是不自洽地把无穷大看作是一个唯一的数字，而无穷大减一也是无穷大，因此两者是相同的。但无穷大是一类未知数，它们具有共同的大于任何有限数的性质，但它们不是一个数字。因此，∞和∞-1是不相等的。所以，上述论证不成立。”
对于第3）点，他们认为：“这种证明的错误在于第1个等式就不成立，1/9约等于（而非等于）0.1循环，两者只是无限接近。”
对于第4）点，他们认为：“小于0的数的集合与小于无穷小（o）的数的集合也是等价的，那么无穷小和零也是相等的。但o并不等于0。”
对于第5）点，他们认为：“0和o之间也没有任何其他实数，那么o和0也是相等的。但o并不等于0。”
对于第6）点，他们认为：“1除以1的商约等于（而非等于）0.9循环。”
他们还认为：“现实中没有任何物体的数量会是一个循环小数。在现实中0.9循环不存在，总会有这样一种情况，在小数点后列出了某一个9之后，由于事物的度量的离散性，再多一个9时，数量就等于1了。也就是说在现实中我们可以认为0.9循环等于1。但数学是一个纯粹思辨的学科。在数学中，两者不是相等的。”
他们认为：“只有一种情况下，0.9循环等于1，那就是规定0.3循环等于1/3。这种情况下，0.3循环只是1/3的另外一个表述方式。但如果是这样的话，用分数表示就好了，何必还要循环小数这么多此一举呢？”
他们认为：“把0.9循环和1等同带来了许多困惑。这种困惑不是来自对错的问题，而是美丑的问题。不把0.9循环和1等同，这样的数学更有美感。它仍是一件精美的艺术品，而不是到处是修修补补的蹩脚货。因为人们对于数学的期望与物理学不同。物理学家说0.9循环等于1不会有人反驳，但数学家就不能这么说。纯粹理性思辨的美感不容破坏。”
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以上是两派的观点。希望理性和感性地讨论，但任何一派也不要用火烧另一派。
猜猜我是怎么看的……更多关于无穷大的非唯一性和非现实性，请见文集《徐的哲学》的“形而上学”章节。
