10.1全纯函数的初等性质-复微分

复微分

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开圆盘,开圆盘的闭包,去心圆盘
不连通,呈现一种闭隔离性,取集合的补运算可谓是一种硬边界构造手法。开集取补后就是闭集,出现了边界。点取补后,是有洞开集,点就是边界。所以不连通也是一种硬隔离,可以找到边界。
闭不连通,则是不交闭集的并,这个不交可以理解为分离性,存在这样的开集分隔这两个闭集。所以这里包含了对拓扑空间的约束。
最大连通子集,使用极值构造方式建立,这样的构造方式很常见,比如佐恩公理中,最大全序链。在拓扑学中更是经常用,开集的构造,就是包含了每个点的开邻域的最小集合。
连通分支的概念很关键,因为连通开集就是区域,这样的区域就是解析函数的舞台,不过还需要把洞排除掉,才能获得积分随路径不变性。
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函数于一点的导数,全纯,解析,开集内全纯的函数类
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线性算子的术语表述可微,具体来看的话意味着函数的差值同自变量差值近似保持线性关系。这是一种逼近近似,还有一种无穷近似,称为渐进表达式,区别不大。反函数变换,就把零映射到了无穷。
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解析函数环是通过微分运算性质建立的,比较解析就是处处有导数。这个观点以前没注意到。
微分运算的性质包括线性,乘积,链式法则。于是,函数的加,乘,数乘,复合都封闭。
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幂函数全纯,多项式函数全纯,反函数在零以外全纯,直接通过定义求导就得到了,毕竟是代数函数。然后是作者喜欢使用的,利用复合运算的封闭性证明运算的封闭性。
整函数,全平面全纯。指数函数也是全纯的。
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暴力计算指数加法公式,双重求和变嵌套求和也是常见的技巧。中间利用了二项式定理,非常巧妙。自己算的话,很容易卡住。因为是纯代数的论证,所以对复数也有效。
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一些定理,其实就是复指数函数的性质,在实轴上的截面就是指数函数,复指数函数是周期函数,其实是条带,沿虚轴分布。虚指数与旋转的对应。复指数可取任意非零复数。因为-1=e{iπ},所以任意负数都是可取到的。i=e{iπ/2},所以任意虚数可以取到。当角度非特殊值时,可取任意非零复数。
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这个积分好像是反正切,这个方法进行了参数变换,获得单调映射,正好抵消,答案显然。
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幂级数,在收敛半径中,闭绝对一致收敛。根式判别法,这个是一般版本,sup代表了系数绝对值最大的那一项,而不单单是n大的项。
函数在开集中可表幂级数,要求逐点收敛,这个要求低了,与绝对一直收敛有差距,说明空间或者函数具有特殊性质。
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函数可表幂级数,则函数解析,且导数可表幂级数。同解析和可表幂级数等价相比差了一半。
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证明是证幂级数逐项求导就是导数。
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定理递推可以获得强结论,解析函数的任意阶导数可表幂级数。
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复测度,复可测函数,可表幂级数。
这里面复测度取代了复数结构,通过积分表示了幂级数的系数,非常巧妙,看起来形式复杂,但是啥也没算,唯一关键的部分就是反函数的几何级数展开。
注里面的不等式很有用,刻画了解析函数的导数。毕竟泰勒公式说明幂级数系数就是导数。

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