今天为你解读的书是《数学家讲解小学数学》。

听到书名，可能有人会觉得，小学数学又不难，只要掌握一些基础的数学知识，就能给孩子讲，不太需要数学家来讲解。请注意，会做小学算术题，跟理解小学数学中的基本定义、能够证明数学定理，是两回事。而辅导孩子写小学数学作业，跟成为一个优秀的小学数学老师，也是两回事。

加拿大数学家达拉布（V.Dlab）有句话说得很好，“在激发学生对数学产生兴趣的过程中，知识渊博的老师所起的作用无可替代，改变教学方法，重复地说教，或对教学大纲进行改革，都无法做到这一点。”

家长肯定都希望，能有位知识渊博的数学老师，让孩子的成绩好一点儿。今天这本《数学家讲解小学数学》，就是一位数学家写给小学数学老师的培训教材，目的是帮助老师们更加深刻地理解自己教的内容。如果你是家长，想给孩子讲明白小学数学，给孩子辅导数学作业，那么这本书是非常好的参考。

本书的作者叫伍鸿熙，是国际著名的微分几何学家、数学教育家。他在美国麻省理工获得博士学位，后来在加州大学伯克利分校担任教授，他还是美国国家数学教育专家咨询组成员。他从1992年就开始关注美国中小学数学教育，致力于中小学数学老师的培训工作。

一位数学家为什么会关注中小学数学教育？这始于一次意外。作为数学家，伍鸿熙教授所了解的数学是清楚、实在的，有明确的定理和证明。可当他审查完一套美国中小学数学教材后，意外地发现，美国中小学数学教材中有各种各样的问题，比如，几乎不给出任何准确的数学定义，会用语言陈述来代替数学符号表述，等等。

在伍教授看来，这些都是“不好的数学”。不好的数学，就是不准确、内容比较孤立的数学，它违背了数学的本质，不利于培养学生的逻辑推理能力。好的数学指的是，能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学。把数学分成好的和不好的，这是数学家陈省身提出来的。他曾经与伍鸿熙教授共事过很多年，他的数学品味和判断，深刻影响了伍教授。

面对“不好的数学”，如果老师的数学水平足够好，就能弥补教科书的不足。可问题是，伍教授与很多美国中小学数学老师接触后发现，他们的数学素养，无法帮助学生理解教科书里的数学意义。这些老师虽然在大学学过正规的数学课程，数学知识丰富，但这些课程中并不包括中小学数学。也就是说，未来的老师们没能在大学教育中，获得自己在工作上真正需要的知识。

为了给小学数学老师提供一个更加扎实的起点，让孩子们学到“好的数学”，伍教授编写了这本《数学家讲解小学数学》。这本书按照美国的学制，从学前班讲到七年级，讨论了小学数学课程中关于数的各个主题：自然数、整数、分数、有理数和实数，以及它们的运算法则。伍教授在书里，尤其强调数学的基本原则，比如，每个概念必须精确定义，定义构成了逻辑推理的基础；比如，数学表述要精确，在任何时候，什么是已知的、什么是未知的，都要非常清楚；再比如，数学是连贯的，它就像一张编织紧密的挂毯，所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起，形成一个统一的整体。

伍教授强调这些是因为，他发现，美国中小学的数学教育常常违背这些基本原则。在他看来，老师们明确了这些原则，就能更好地教学生，而学生们知道了这些原则，也就能明白，数学不是背出来的，而是理解出来的，掌握了基本原则和知识，自己就可以进行推理。

好，今天的解读，围绕三组词展开。第一部分，我们通过数学家的视角重新“理解数字”。第二部分，我们来了解下，“数学语言的准确性”。最后，是“数学知识的连贯性”。

第一部分

我们进入第一部分。

这本书的英文标题，翻译过来叫“在初级数学中理解数”。数字有什么难以理解的吗？我们一、二、三这样数下去，不就知道了吗？看了这本书，你就会发现，还真不是这么简单。

这本书开头十几页的内容非常简单，伍教授不厌其烦地教大家数数。他说，加法就是连续记数。比如，4与5的加法，就是从4出发，数上5步，由此得到数字9。所谓a加b，就是表示从a开始，数了b步而得到的数。数着数着，他引入了位值制的概念，位置的位，数值的值，也就是什么是十位，什么是百位。

如果只能用一个位置来记数，那么数到9，我们就不能往下数了，这时候，需要增加一个位置，这个新的数位就是十位，数到99时，需要再增加一个位置，也就是百位。伍教授通过连续记数来引入位值制，是为了帮助学生理解这个概念的起源，让学生知道，数学处理问题的方法不是凭空得来的，而是有根据的。这样，刚开始学习数学的学生，就能理解什么是十位、百位，就会知道所谓的位值制其实很简单，不用机械地背诵“数字的第一位是个位，个位的左边是十位，接着是百位”。

伍教授强调，我们在讨论数的时候，离不开数轴，数轴是一条直线，上面的每一个点都唯一地等同于一个数。虽然自然数这个概念是从记数发展出来的，但是从学习数学的角度来看，对数字有一个几何上的认识很有价值。数学知识的一个特点是抽象性强，很多学生会因此望而生畏。通过数轴，我们就能把连续记数这个很抽象的过程，转化成空间中可以看到的过程，非常直观。在数轴上，我们不仅能找出自然数，还能找到分数、有理数，从而理解这些数的加减乘除。比如，把数字a、b都放在数轴上，得到线段a和线段b，两个拼接起来求长度，就是两个数字相加的结果。

说完了记数，我们来看运算法则，这是小学数学中最基础的内容。一说到运算法则，有些人认为，只要会背就够用了。假如一个小孩总是面对4乘5等于几，17乘12等于几，这样的问题，那他的确不用学习任何运算法则的本质。可如果他长大后，还要继续学习计算，要去算34609乘549728等于多少的时候，靠着背诵运算法则，就很难回答了。

在伍教授看来，我们在讨论运算法则的时候，重点不是法则本身，而是隐藏在它们背后的逻辑推理。这些内容能让老师和家长，向孩子合理、正确地解释，为什么人们要这样计算。伍教授还建议，如果家长想让孩子早点儿接触数学推理，就要让他们学习这些运算法则的本质。如果一个人对运算法则的数学推理过程感到不舒服，那他以后就很难理解代数。

那么，究竟什么是运算法则的本质？伍教授说，运算法则有一个贯穿的中心思想，就是把复杂问题分解成一个个简单的子问题，这也是研究数学的基本工具。在进行多位计算的时候，把计算过程分解成许多步，每一步都只涉及一位数的计算。

举个简单的例子，我们左右手里都有一摞钱，左手有3张10块钱，4张1块钱，也就是34块钱；右手呢，有两张10块钱，5张1块钱，也就是25块钱。这些加起来，一共有多少钱呢？我们可以先把10块钱都放在一起，有5张，1块钱都放在一起，有9张，相加的结果就是59。

像刚才这样，不管参与计算的数字有多大，运算的每一步都只关心一位数的计算，这就是抽象思维，而抽象思维是数学学习的关键。有一种观念是，搞数学，每一步都要思考。但伍教授提醒我们，不是这样的，搞数学，对一个课题深刻理解后，就可以把许多复杂的过程分解成简单、机械的过程。

老师、家长在给孩子讲运算法则背后的推理时，常常会感觉到这种单调，单调就对了。简单、单调的计算过程，做起来既简单易行，还能为我们节省脑力。伍教授说，给孩子讲授运算法则时，必须同时强调运算法则是单调、不用思考的。假如老师、家长给孩子讲运算法则的时候，不强调这种单调，反而会丢掉了它们的本质。

读这本书的时候，我们也会感觉到这种单调。比如，伍教授会让我们比较，1058和874这两个数字，谁大谁小。这一听是明摆着的事，我们凭直觉就能比较出来。但伍教授说，凭直觉并不是学习数学的好方法。好多孩子一学到分数，都会感觉困难，那就是因为直觉不起作用了。有些孩子会误以为，二分之一加二分之一等于四分之一，这就是错误的直觉。

那么，怎么不靠直觉，来比较1058和874的大小呢？伍教授说，1058比874大，那是因为999比874大。999是最后一个三位数，它后面跟着的是第一个四位数1000，而1058又比1000大。

伍教授还在书里说，孩子学习运算法则，其实就是从数学的观点领悟阿拉伯记数法。这是什么意思呢？我们知道，阿拉伯记数法也叫作十进制记数法，十进制就是满十进一。

伍教授讲十进制之前，先讲了除法的定义。在他看来，十进制的除数是10，二进制的除数是2。听起来有点抽象，我们来看一个例子。比如，十进制就是把一个数字改为10的n次方的展开式，用十进制来看，28这个数字就可以展开成20加8，也就是2乘以10的一次方，再加上8乘以10的零次方。这就是阿拉伯记数法的十进制的数学意义，不再通过数数来认识一个数字，而是从展开式的角度来认识它。

刚才我们为了表述方便，用的都是很小的数字。伍教授在书里也特意说到，有时候小学老师为了课堂讲述方便，总会用比较小的数来举例，但这实际上会造成学生的畏难心理。其实，只要掌握了规则，就不用怕复杂的数字，小学老师也可以在课堂上用大的数字给学生举例。

说到记数法和运算法则时，除了数轴，伍教授还讲了很多相关的知识，感兴趣的话，你可以在这本书的第一部分看到，我们这里就不展开了。伍教授之所以介绍这些知识，是想帮助老师和家长对自己教的东西，有高屋建瓴的认识，这样，大家在教孩子的时候，头脑中也会更清晰。

第二部分

我们读伍鸿熙教授这本书，会有一个很直接的感受是“死扣定义”。他说，在数学中，定义极为重要，因为数学是一门精确的学科，人们需要精确地知道自己在讨论什么内容。这本书的目的之一，就是强调用精确的语言和精确的推理，得到逻辑严密的结论并解决具体问题。

伍教授这么重视定义，是因为他发现，美国大部分学校，长期以来都忽略定义，老师和学生会感觉，定义不是必需的，而是多余的。可是，如果老师教授数学时，不给出精确的定义，学生会不知道自己学的是什么。在伍教授看来，定义是所有数学推理和讨论的基础，定义决定了每个概念都有什么样的性质。有了精确的定义，许多严格的推理就变得可以理解了。

接下来，我们就来看看什么是精确定义。

网上流行过这样一道数学题。说有一个自然数，它比7大，又比10小，请问这个数是几。不少人的答案可能是8和9，但实际上答案应该是8或9。问题里说的“这个数”，它的意思是“一个数”，而8和9是两个数，一个数可以是8或9。

分辨“和”与“或”之间的区别，这不是语言上的事吗？学数学，也要强调对语言的理解吗？是的，数学也有对语言的理解。比如，我们学数学时，会碰到“有且仅有”这样的短语，这就是一种严谨的数学表达。

伍教授讲到分数乘法的时候说，日常用语经常是模糊不清的，假如用日常用语来做数学题，可能会变成一种猜谜游戏。在这种情况下，数学题做得好不好，常常取决于一个人对日常用语中隐含意义的理解有多深。

我们来看两道应用题：艾伦一家人参加了一个野餐聚会，一共有15个人，艾伦一家是15个人中的三分之一，请问这一家有多少人？另一道题是：詹姆斯吃掉了16根火腿肠的八分之一，问他吃了多少根火腿肠？我们不用做这两道题，用它们为例，是想让你理解，题目里的“的”字，其实就是要我们做乘法。

刚才这两道题里都有分数，分数是小学数学常见的教学难点，很多学生学到分数就开始糊涂了。这种现象的一个主要原因是，很多美国小学数学教科书，没有明确定义跟分数相关的概念，老师们常常用各种方式来向学生说明。比如，老师常常会用分蛋糕的比喻，来让孩子们理解分数，三分之一，就是把一块蛋糕切成相等的三份，取其中一块。但是教学生分数乘法的时候，蛋糕的比喻就很难让人接受，我们怎么能把两块蛋糕相乘呢？

除了比喻，美国学生学分数的时候，通常还会碰到不同的解释：一种是说，分数表示部分与整体的关系；还有一种是，分数就是商，分数三分之二，就是2除以3。伍教授说，把这些解释当成分数的定义是不能让人满意的。如果老师、家长不用精准的定义来讲数学，而是用比喻，那就不能要求学生去进行准确的计算，更不能要求他们去做准确的推理。

那么，伍教授对分数给出的精确定义，是什么呢？非常枯燥。在他看来，分数也是数轴上的点。假设有一个自然数n，我们把0到1之间的线段分成n个相等的部分，那么，n分之一在数轴上，就是0在右边的第一个分点。n分之一的所有倍数，就构成了一列与n有关的等距点。

说实话，伍教授的这个定义，直接讲给低年级的小学生听，会让他们更不明白。但小学生学习分数，有点像科学家的“数据收集阶段”，先通过“分蛋糕”或者“半杯水”这样的现象，直观地了解什么是分数。等到了小学时期的高年级，老师就需要对分数进行理论化的解释，帮助学生进入到“建立理论阶段”。

这时候，老师给学生讲分数计算，就要开始强调数学的抽象成分，让抽象观念成为课堂教学的一部分。学生刚开始接触抽象概念，可能会听不明白，理解起来比较慢。这时候，老师宁可讲得慢一些，也要帮助学生真正地理解抽象概念。这样，当学生遇到复杂问题了，能够自己把它抽象成数学语言，理解问题的目的，其实也就掌握了数学的思维方法。

我们说到“死扣定义”的时候，应该知道伍教授在死扣什么：他是在区分比喻型的解释和数学上的真正解释，他在区分直观的解释和数学概念真正的定义，他在区分日常生活用语中的数学表达和真正数学语言的表达，他是在区分具象与抽象。他是在告诉我们，学习数学的时候，要准确地知道自己在讨论什么内容，这件事跟语言密切相关。

第三部分

好，我们进入第三部分，说说数学知识的连贯性。

在美国，很长一段时间，中小学生实际学到的都是不连贯的数学。用伍教授的话来说就是，学生学会了一堆数学上的花招，这些花招之间没有什么关联，好像第一年学会的东西，第二年就可以忘掉了。在伍教授看来，数学的连贯性非常重要，连贯性是构成数学的一种品质，一门连贯的课程，就要用一种连贯的方法来展示。

那么，什么是数学知识的连贯性呢？伍教授说过一个很形象的比方。他说，《西游记》描写的是唐僧师徒几人经历八十一难的故事，其中每一难都是一个情节独立的故事。可是数学不一样，数学就像一部连载小说，每一章内容跟它的前后章节，都密不可分。因此，数学知识的连贯性，就是要求老师在数学教学中循序渐进，每个知识点既要为它做好铺垫，也要注意它与后续知识点的关联。

教小学数学的时候，也要遵循连贯性。伍教授说，学习小学数学，先要在数轴上认识自然数，然后是分数，最后是有理数。他在这本书里，系统、全面地展示了自然数、分数和有理数的数学发展过程。首都师范大学的王尚志教授，评价这本书时说，伍教授把中小学大部分数与代数的内容整合到一起，这体现了数学的基本思想：抽象、推理和模型。伍教授的做法，有助于小学数学教师从整体上掌握数学课程的目标，认识数学课程的内容。读者看这本书的时候，也会感受到，加减乘除等概念，从自然数，到分数、有理数、实数的演化过程都是连贯的，就可以从整体的观点来看待数。

道理已经清楚了，可真做起来，才知道什么是知易行难。拿家长来说，家长陪孩子写作业，给孩子讲数学的时候，很容易犯这样一个毛病：无法整体掌握。比如，要是给孩子讲分数的除法，五分之三除以三分之一，我们会告诉孩子，除以一个分数，就是乘以这个分数的倒数，除以三分之一，就是乘以三。家长们可能不太管这个公式是怎么来的，反正先让孩子会做题再说。这样做，实际上就是缺乏对数学连续性的整体认识，不太讲数学教学的顺序。更糟糕的是，大部分家长并不知道什么是数学知识的连贯性，也不知道自己打破了这种连贯性，好心教给孩子快速解题的秘诀，反而不利于孩子学习数学。因为很多家长念书的时候，好像也是这么学、这么做的。

比如，做分数加法的时候，我们都知道有个数学概念叫“最小公倍数”，有了它做题就会很简单。比如，四分之三加六分之五，这两个分数相加，我们知道，要先求两个分母的最小公倍数，4和6的最小公倍数是12，于是，四分之三就变成了12分之9，六分之五变成了12分之10，它们相加之后，等于12分之19，这就是结果。但伍教授说，给小学生讲解分数加法的时候，使用最小公倍数这个概念是不合理的，因为学生会产生很多困惑：分数加法怎么跟之前的自然数加法不一样呢？最小公倍数是什么，它怎么突然出现了？为什么分数加法就要用到这个新概念？

伍教授还说，突然使用“最小公倍数”这样的概念，也会给学生的计算过程造成不必要的障碍。比如，有这样一道题，数字有点复杂，但请你放心，不会影响我们的理解。在这道题里，学生要计算，323分之2，加493分之3，结果是多少。如果把两个分母相乘，学生就要用323乘以493，得出159239，分子2和3也要相应地分别乘以493和323，两数相加得到1955，然后才能得到答案，159239分之1955。这还不算完，一般来说，学校老师还会要求学生对答案进行约分，也就是把那个复杂的分数，即分子分母都同时除以17，再约分成9367分之115。

对一个小学六年级的学生来说，这些计算太难了。在伍教授看来，这样的计算方式，根本没有什么道理、整体性可言。进行分数相加的时候，突然出现最小公倍数的概念，会干扰学生对分数加法的理解。至于得出的答案是不是要约分，也不是什么一定之规。十分之五要约分为二分之一就足够了，分母分子是两位数的时候，约不约分其实并不重要。

伍教授说，讲解分数的时候，我们不能总是让学生面对一位数的分母、一位数的分子，而是要用比较大的数。简单的分数，会使学生习惯性地依赖比喻的方式，不愿意对分数进行抽象理解，这会阻碍了他们之后对代数的理解。如果老师布置的习题中，能够经常出现68分之159，825分之21这样复杂一点分数，而不是简单的分数，学生就无法用比喻的方式去理解分数了，他们进而就会迫切地想要掌握分数的概念及其运算。

那么，伍教授在这本书里是怎么讲分数加法的呢？他花了很多篇幅，先是做了一些基础知识的铺垫，讲了什么是等价分数，什么是分数对，然后才讲到分数加法，讲完分数加法以后，他又继续往后延伸，讲了等价分数的进一步应用，讲了分数的乘法和除法。他这样讲就是在确保数学知识的连贯性。

伍教授建议，老师在教中小学数学知识的时候，不仅要为教学难点做好铺垫，也要适当地向高等数学引申，把中小学数学知识和高等数学统一地衔接在一起。如果老师做不到的话，起码也要保证自己教的知识，不会跟高等数学的知识相悖。这样，学生在学习数学的过程中，才能感觉到，数学是一门有整体性和连贯性的科学，是有理可循的，增强他们学习数学的信心。就像日本数学教育家米山国藏说的：“数学是由简单明了的事项与逻辑推理的结合而一步一步地构成的，所以，只有学习数学的人注意老老实实地一步一步去理解，并同时记住其要点，以备以后之需用，就一定能理解其全部内容。”

回过头想想，我们凭借自己有限的数学知识，帮助孩子做出一道小学算术题，这不是什么难事。我们给孩子讲分数除法的时候，告诉他，除以一个分数，就是乘以这个分数的倒数，这非常简单，我们脑子里记着的这个公式，能帮助孩子做题。但如果我们要想像伍教授那样，理解数学知识的连贯性，注重连续性的逻辑推导，一步步给孩子讲明白整个小学的数学课程，这也绝不是一件简单的事。

结语

好，以上就是我对《数学家讲解小学数学》这本书的解读。我们简单总结一下。

第一，《数学家讲解小学数学》是伍鸿熙教授写的一本小学数学师资培训教材，它设定的读者是小学数学老师，目的是让小学数学老师，对自己教的课程有整体认识，进而让学生学到好的数学。本书虽然是数学教材，但是读起来并不需要太多的数学基础，如果你是家长，想给孩子辅导小学数学作业，不妨看看这本书。书中的推导都很严谨，你可以准备好草稿本和铅笔，跟伍教授一起演算。

第二，我们只要打开这本书，就会感知到伍教授对定义的重视，用一句我们常说的话，死扣定义。他的死扣定义，是一种高屋建瓴的认识。我们跟着伍教授来区分日常生活中的数学表达，和真正数学语言的表达，实际上，就是要学着清楚地意识到，自己讨论数学时在说什么。

第三，有些家长，看见自己的孩子给别人讲数学题，会觉得是在浪费时间。实际上，理解一道题，再讲给别人听，是在整理自己的思路，自己搞明白了，才能深入浅出地讲给别人听。伍教授这本书能帮助我们理解小学数学，但并不意味着，我们看完书后，遇到什么样的题都能解出来。有时候，不断刷题就是在加深理解。因此，阅读这本书的时候，我们也应该耐心一点儿。书中的内容，孩子要用六年的时间才会学完，我们也有六年的时间跟着孩子一起学完。