由于13，14都是讲期限结构的模型的，所以把两块合并了，并从使用模型来把learning object组织起来
Model 1: Model 1：term structure with no drift 只有波动没有趋势
- 考点13.1.构建和描述一个no drift的短期利率树，说明模型有效性
- 考点13.2.计算使用正态分布利率和无漂移的的模型得到的短期利率变化和标准差
模型公式和构建的利率树
Model 1 有效性
- no drift假设会导致downward-sloping预测的期限结构有更大的convexity
- model 1预测了一个flat volatility，实际上volatility是hump-shaped
- model 1只有一个fact：short-term rate
- model 1隐含了任何short term rate的变化都会导致收益率曲线的平移
计算IR变化和IR变换的standard deviation
Example：
short term IR = 6%
IR annual volatility = 120bps = 1.2%
1.计算短期IR的standard deviation，
2.构建no drift利率树，树上节点利率是前一步节点利率+或-上短期IR的Standard Deviation
Model 2 Term Structure Model with drift 有趋势有波动，趋势恒定
- 考点：13.3.描述利率期限结构模型中如何确定负面短期利率的概率的方法
模型公式和构建的利率树
由于model 1肯能会产生negative IR，所以在Model 1上引入了和时间相关的positive risk premium=drift term，主要解决model 1可能产生负利率的情况
Model 2 有效性
- model 2 比model 1更有效，drift term可以明显观察到期限结构的upward-sloping
- 不好的地方是估计的drift可能会很高，不太适合long run
解决negative IR的两个方法
- 使用non-negative分布，比如lognormal或者Chi-squared分布.但这样会引入skewness或者不合适的波动率
- 强制让负利率变成0，这种方法比前面一种更好一些，因为不会改动整个利率分布
如果模型是用来给coupon bond定价的，那么negative rate的影响就比较小
如果模型是给opting定价的，那么negative rate影响就比较大
例题分析：
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根据model2 的利率树分析 rud = 8% + 2 * 0.5% * 1 = 9%
所以答案 C
Ho-lee模型 有趋势，有波动，趋势不恒定
- 考点 13.4.基于带有时间以来的Ho-lee模型构建一个短期利率树
模型公式和构建的利率树
Ho-Lee模型认为drift有不同的时间依赖性，如果两个时间的dift相同，Ho-Lee模型就会变成Model 2
考点 13.5.描述arbitrage-free models的用法和特点，以及问题
Arbitrage model
通常用在流动性差或者定制的securities，也经常用来估计security的衍生品。
Arbitrage Free model
用在模型价格必须匹配市场价格上。
适用于比较两个security价格
两个缺点：
1.校准到市场价格是主观的，如果利率不是平移的，那么用Arbitrage model更好。
2.假设标的价格是精准的。因此不适用极端波动
Vasicek模型，有趋势，有波动，趋势是均值回归
- 考点 13.6 描述使用Vasicek模型构建recombining tree的过程
- 考点 13.7 计算在T年内期望利率下，Vasicek模型的IR变化，IR变化的标准差
- 考点 13.8 描述Vasicek模型的有效性
Vasicek Model公式 考虑漂移是会均值回归的
Vasicek假设短期利率是均值回归的，所以加入了均值回归参数
Vasicek模型计算IR变化，IR变化的标准差
太复杂很难出现在考试
Example：
reversion adjustment parameter = 0.03
annual standard deviation = 1.5%
long term rate = 6%
current interest rate = 6.2%
annual drift = 0.36%
1.计算出长期的回归利率是18%
2.使用Vasicek计算下个利率树上节点的利率
3.把利率树转换成combining tree
这时候得到利率树不是combine tree的，所以需要调整涨跌概率来得到一个combining
tree
先计算出ruu，然后再计算出上涨的概率p
4.最后根据概率p和ruu计算出standard deviation
计算T年的期望利率，half life
1.长期回归利率和当前利率的差是11.8%
2.把利率差根据10年回归调整参数进行折现
3.用回归利率减去折现后的利率就是10年的期望利率
描述Vasicek Model的有效性
- Vasicek产生了一个downward-sloping的波动率，Model的波动率是flat
- Model 1隐含了利率parallel shift，但是Vasicek没有
- 如果短期利率波动是因为经济新闻，那么均值回归参数越大，经济新闻就就被消化的越快
例题分析：
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答案 D，均值回归参数越大，经济新闻就就被消化的越快
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答案D
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Model 3：Term Structure Model with Time-Dependent Volatility，波动率随时间变化
- 考点 14.1 描述Model 3
- 考点 14.2 计算Model 3的IR变化，IR变换标准差
- 考点 14.2 评估Model 3的有效性
Model 3 模型公式
可以理解成是把当前波动率按照一个折现系数按照时间折现
Model 3 有效性
- 增加了flexibility，对IR caps/floor这种产品很有效
- 如果model3的decay rate和Vasicek的mean reversion rate一样，那么最终分布的标准差就是一样的
- model 3适合fixed income 的option的定价， Vasicek适合对fixed income进行估值或对冲
- model 3的关键问题是预测的短期波动率是常量，Vasicek隐含了波动率是downward-sloping
例题分析：
image
Model 3 可以适用各种波动率的变化。所以第一句话的后半段不对，答案B
CIR 和 lognormal 模型
CIR 趋势均值回归，波动率随时间变化
- 考点14.4 描述CIR和lognormal
- 考点14.5 计算CIR和Lognormal的IR变化，IR变化标准差
- 考点14.6 描述带确定性漂移和均值回归的Lognormal模型
Cox-Ingesoll-Ross 模型公式
basis-point波动率会按照rate的平方根来增长，dr会随着rate减少而增加
没有负利率，总是右偏的
例题分析
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答案B是CIR的缺点，由于模型没有负利率，而且是右偏的，所以在计算out-of-the money option的时候会有不同的概率分布，因此计算的价格也不同
A和C是CIR的优点
Model 4 模型公式
没有负利率，总是右偏的
lognormal的收益率波动率是常数，但是basis point的波动率会随着IR而增加
例题分析
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根据lognormal的两个波动率的特性，答案A
带确定性漂移（Deterministic Drift）Lognormal模型
Ho-Lee 模型的漂移是additive
Lognormal模型的漂移是multiplicative
带均值回归（Mean reversion）的Lognormal模型
Black Karasinshki Model，非常灵活，允许随时间变化的波动率和均值回归特性。
