一道微分方程题和双曲换元求积分

朋友给了一道微分方程的题，用双曲换元才能得到答案那种超简洁的形式，否则便是一个无法显化的隐函数。因此，特记录一下。

1. 微分方程题

Q：求解微分方程 $y''+\sqrt{1+(y')^2}=0$ 。

S：令 $y'=p$ ，所以 $y''=p\frac{d p}{d y}$ ，代入得
$p\frac{dp}{dy}+\sqrt{1+p^2}=0$
易得，
$\sqrt{1+p^2}=-y+C_1$
所以有，
$\frac{dy}{\sqrt{(-y+C_1)^2 -1}} = dx$
从这一步开始如果用三角换元，得到的将是一个无法显化很不好看的隐函数。但是用双曲换元，得到的结果很是简洁。

两边同时积分，对于左边令 $u=-y+C_1$ ，所以为
$\begin{align*} -\int \frac{d u}{\sqrt{u^2-1}} &\xlongequal{u=\cosh t} -\int \frac{\sinh t}{\sinh t}dt \\ &= - \mathrm{arccosh} u \\ \end{align*}$
（在右边那个积分再把任意常数加上），所以有
$\begin{align*} -\mathrm{arccosh} (u) = x +C_2 \end{align*}$
易得，
$y=c_1-\frac{e^{-x}}{2c_2}-\frac{c_2e^x}{2}, \quad (c_1=C_1,c_2=e^{C_2})$

2. 双曲换元

双曲正弦： $\sinh =\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

双曲余弦： $\cosh =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

关系式： $\cosh^2 x - \sinh^2 x=1$

所以有如下两个积分公式（ $a>0$ ），
$\begin{align*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} & \xlongequal{x=a\sinh t} \int \frac{\cosh t}{\cosh t}dt \\ &= \mathrm{arcsinh}(\frac{x}{a}) + C \end{align*}$
$\begin{align*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} & \xlongequal{x=a\cosh t}\int \frac{\sinh t}{|\sinh t|}dt \\ &= \frac{x}{|x|} \mathrm{arccosh}(\frac{|x|}{a} ) + C \end{align*}$

最后编辑于：2021.06.23 23:31:52

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1. 微分方程题

2. 双曲换元

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