李群李代数-(1)

https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5137454.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/358455662
https://zhuanlan.zhihu.com/p/435445206
https://blog.csdn.net/youngpan1101/article/details/71087470

https://blog.csdn.net/qq_32998593/article/details/124684758?spm=1001.2101.3001.6650.2&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-2-124684758-blog-46628023.pc_relevant_default&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-2-124684758-blog-46628023.pc_relevant_default&utm_relevant_index=3

$SO(3)$

Special Orthogonal Group ,即特殊正交群，当我们研究的问题是三维空间，则认为是 $SO(3)$ ，而正交群对向量的作用一般都指代的是旋转，所以这样的群也叫旋转群
$SO(3)=\{R\in \mathbb{R}^{n\times n} | R\times R^T=I|det(R)=I\}$ （注： $R$ 表示旋转矩阵， $\mathbb{R}$ 表示实数域）

$SE(3)$

Special Euclidean Group,即特殊欧式群,这里变换矩阵T除了包含旋转R，还多了一个位移t，当研究的问题是三维空间问题，则认为是 $SE(3)$ ,如下表示
$SE(3)=\{T=\begin{bmatrix}R&t\\0^T&1\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times 4}|R\in SO(3),t\in \mathbb{R}^3\}$

啥是群
中学的时候肯定都接触过集合这个概念，比如所有实数的集合 $\mathbb{R}$ ,或者我们可以自己定义一个集合，比如所有正方型的集合，不太严谨的说，其实就规定一些条件，所有满足这些条件的“东西”，就组成了一个集合。

，或者我们可以自己定义一个集合，比如所有正方型的集合，不太严谨的说，其实就规定一些条件，所有满足这些条件的“东西”，就组成了一个集合。

而群（Group），则是一种集合，加上一种运算组成的结构。假如我们把集合记作G，运算记作·，它要求集合和运算满足下面几个条件：

封闭性：对于所有 $G$ 中 $a, b$ ，运算 $a·b$ 的结果也在 $G$ 中
结合律：对于所有 $G$ 中的 $a, b$ 和 $c$ ，等式 $(a·b)·c = a· (b·c)$ 成立
幺元：存在 $G$ 中的一个元素 $e$ ，使得对于所有 $G$ 中的元素 $a$ ，总有等式 $e·a = a·e = a$ 成立
逆元：对于每个 $G$ 中的 $a$ ，存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使得总有 $a·b = b·a = e$ ，此处 $e$ 为单位元

看起来挺复杂，举个例子就很容易整明白了，整数（集合）和加法（运算），就可以构成一个群。

封闭性：对于任何两个整数 $a$ 和 $b$ ，它们的和 $a + b$ 也是整数
结合律：对于任何整数 $a, b$ 和 $c，(a + b) + c = a +（b + c）$
幺元：如果a是任何整数，那么 $0 + a = a + 0 = a$
逆元：对于任何整数a，存在另一个整数b使得 $a + b = b + a = 0$ ，整数 $b$ 叫做整数 $a$ 的逆元，记为 $-a$

啥是李群
简单的说，李群就是连续的群。上面的特殊正交群，特殊欧式群，都是对时间连续的群，都是李群的一种

啥是李代数
李代数是基于李群为基础的一种非结合代数

李代数的引出

我们知道对于李群中的任意一个 $R$ ( $R$ 是关于时间 $t$ 的矩阵 $R(t)$ ，这里简写为 $R$ )
有 $RR^T=I$
两边对 $t$ 求导
有 $R'R^T+R(R^T)'=0$
$R'R^T=-R(R^T)'$
$R'R^T=-(R^{'}R^T)^T$
所以 $R'R^T$ 是一个反对称矩阵
又我们知道反对称矩阵都可以由一个向量表达
具体原因如下
$a=\begin{bmatrix}a1&a2&a3\end{bmatrix}^T$
定义 $a^{\wedge} =\begin{bmatrix}0&-a3&a2\\a3&0&-a1\\-a2&a1&0\end{bmatrix}$

假设 $\varPhi(t)$ 为关于 $t$ 的三维向量，
$\varPhi(t)=\begin{bmatrix}\varPhi_1&\varPhi_2&\varPhi_3\end{bmatrix}^T$

于是可以用 $\varPhi(t)^{\wedge}$ 来表达 $R'R^T$
$\varPhi(t)^{\wedge}=\begin{bmatrix}0&-\phi_3&\phi_2\\\phi_3&0&-\phi_1\\-\phi_2&\phi_1&0\end{bmatrix} =R'R^T$

即 $\varPhi(t)^{\wedge}=R(t)'R(t)^T$
于是 $R(t)'=\varPhi(t)^{\wedge}R(t)$ ，这表明如果要对 $R(t)$ 求导，只需要在 $R(t)$ 前面乘以一个 $\varPhi(t)^{\wedge}$ 即可
可见 $\varPhi$ 反应了 $R$ 的导数性质
简单的说
比如 $t_a$ 时刻
$R(t_a)'=\varPhi(t_a)^{\wedge}R(t_a)$
$t_b$ 时刻
$R(t_b)'=\varPhi(t_b)^{\wedge}R(t_b)$

李代数的定义

李代数是由一个集合 $V$ ,一个数域 $\mathbb{F}$ $($ $\mathbb{F}$ 可以是 $\mathbb{R}$ 实数域或者 $\mathbb{C}$ 复数域 $)$ 和一个二元运算 $[,]$ 组成，如果满足以下性质，则称 $g$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的李代数 , $g = (V,\mathbb{F},[,])$

封闭性
$\forall X,Y \in \mathbb{V} 有[X,Y] \in \mathbb{V}$
双线性
$\forall X,Y,Z\in \mathbb{V},a,b\in \mathbb{F},$
有 $[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]$
$[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$
自反性
$\forall X\in\mathbb{V},[X,X]=0$
雅可比等价
$\forall X,Y,Z\in\mathbb{V},有[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$

李代数 $so(3)$

由前面关于李代数的引出部分可知,

$so(3)$ 的元素是3维向量或者3维反对称矩阵，
$so(3)=\{\phi \in\mathbb{R^3},\varPhi=\phi^{\wedge}=\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix} =R(t)'R(t)^T$

李括号
$[\phi_1,\phi_2]=(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)^{\vee}$ 这里的 $\vee$ 表示把反对称矩阵写成向量形式
这里要稍微解释一下上面的等式
其中
$\phi_1=\begin{bmatrix}\phi_{11}&\phi_{12}&\phi_{13}\end{bmatrix}$
$\phi_2=\begin{bmatrix}\phi_{21}&\phi_{22}&\phi_{23}\end{bmatrix}$
于是 $[\phi_1,\phi_2]=\phi_1\times \phi_2 =\begin{bmatrix} \phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21}\\ \end{bmatrix}$

其中
$\varPhi_1=\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}$

$\varPhi_2=\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}$

于是
$[\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1]^{V}$

$= \begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{12}\phi_{22}&\phi_{12}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{21}\\ \phi_{11}\phi_{22}&-\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{11}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{11}\phi_{23}&\phi_{12}\phi_{23}&-\phi_{12}\phi_{22}-\phi_{11}\phi_{21} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{12}\phi_{22}&\phi_{11}\phi_{22}&\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{12}\phi_{21}&-\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{11}\phi_{21}&\phi_{12}\phi_{23}\\ \phi_{13}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{22}&-\phi_{12}\phi_{22}-\phi_{11}\phi_{21} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 0&\phi_{12}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{22}&\phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21}&0&\phi_{13}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{21}&\phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}&0 \end{bmatrix}^V$

$=\begin{bmatrix} \phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21} \end{bmatrix}$

验证李代数so(3)是否满足上述条件

封闭性证明
$\phi$ 是一个基本向量， $\phi^{\wedge}$ 是反对称矩阵， $\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1$ 的结果仍为反对称矩阵，也就是依然是属于集合 $V$ 中的元素
双线性证明
$[a\phi_1+b\phi_2,\phi_3]$
$=[(a\varPhi_1+b\varPhi_2)\varPhi_3-\varPhi_3(a\varPhi_1+b\varPhi_2)]^{V}$
$=[a\varPhi_1\varPhi_3+b\varPhi_2\varPhi_3-a\varPhi_3\varPhi_1+b\varPhi_3\varPhi_2]^{V}$
$=[a(\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1)+b(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)]^{V}$
$=a[(\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1)]^{V}+b[(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)]^{V}$
$=a[\phi_1,\phi_3]+b[\phi_2,\phi_3]$
同理可证
$[\phi_3,a\phi_1+b\phi_2]=a[\phi_3,\phi_1]+b[\phi_3,\phi_2]$
自反性证明
$[\phi_1,\phi_1]=[\varPhi_1\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_1]^{V}=\vec{0}$
雅可比等价证明
$\forall X,Y,Z\in\mathbb{V},有[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$
令 $X=\phi_1,Y=\phi_2,Z=\phi_3$

$[\phi_1,[\phi_2,\phi_3]]+[\phi_3,[\phi_1,\phi_2]]+[\phi_2,[\phi_3,\phi_1]]$

$=[\phi_1,[\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2]^{V}]+[\phi_3,[\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1]^{V}]+[\phi_2,[\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3]^{V}]$

$=[\varPhi_1(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)-(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)\varPhi_1]^{V}$
$+[\varPhi_3(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)-(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)\varPhi_3]^{V}$
$+[\varPhi_2(\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3)-(\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3)\varPhi_2]^{V}$

$=[\varPhi_1\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_1\varPhi_3\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_3\varPhi_1+\varPhi_3\varPhi_2\varPhi_1$
$+\varPhi_3\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_3\varPhi_2\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_2\varPhi_3+\varPhi_2\varPhi_1\varPhi_3$
$+\varPhi_2\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_2\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1\varPhi_2+\varPhi_1\varPhi_3\varPhi_2]^{V}$

$=\vec{0}$

李代数 $se(3)$

$se(3)$ 位于 $\mathbb{R}^6$ 空间中，前三维为平移，记作 $\rho$ ,后三维为旋转，记作 $\phi$
于是 $se(3)=\{\xi =\begin{bmatrix}\rho\\\phi\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^6 ,\rho\in\mathbb{R}^3 ,\xi^{\wedge}=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times 4}\}$ 注意这里的 $\xi^{\wedge}$ 不在表示反对称矩阵，这里只是扩展了 $\wedge$ 符号的定义，用来将一个 $6$ 维 $\xi$ 转换成 $4\times 4$ 矩阵的一种形式
李括号
$[\xi_1,\xi_2]=(\xi_1^{\wedge}\xi_2^{\wedge}-\xi_2^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^{\vee}$

同样这里对李代数 $se(3)$ 做一下证明

封闭性证明
$[\xi_1,\xi_2]=(\xi_1^{\wedge}\xi_2^{\wedge}-\xi_2^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}&\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}&\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}&\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}&\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}\phi_2^{\wedge}&\phi_1^{\wedge}\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}\phi_1^{\wedge}&\phi_2^{\wedge}\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}\phi_2^{\wedge}-\phi_2^{\wedge}\phi_1^{\wedge}&\phi_1^{\wedge}\rho_2-\phi_2^{\wedge}\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
可见得到的结果的四个元素，左上角依然是反对称矩阵，右上角是仍然是一个平移向量，因此封闭性成立
双线性证明
$[a\xi_1+b\xi_2,\xi_3]$
$=\Big((a\xi_1+b\xi_2)^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}(a\xi_1+b\xi_2)^{\wedge}\Big)^{\vee}$
$=\Big((a\xi_1^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge})\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}(a\xi_1^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=\Big((a\xi_1^{\wedge}\xi_3^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge}\xi_3^{\wedge})-(a\xi_3^{\wedge}\xi_1^{\wedge}+b\xi_3^{\wedge}\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=\Big(a(\xi_1^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}\xi_1^{\wedge})+b(\xi_2^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=a[\xi_1,\xi_3]+b[\xi_2,\xi_3]$
同理会有
$[\xi_3,a\xi_1+b\xi_2]=a[\xi_3,\xi_1]+b[\xi_3,\xi_2]$
自反性证明
$[\xi_1,\xi_1]=(\xi_1^{\wedge}\xi_1^{\wedge} -\xi_1^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^\vee=0^\vee$
雅各比等价证明
同上面的 $so(3)$ 雅各比等价证明符号换一下即可

so(3)映射到SO(3)
首先我们知道对于初等函数
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(x)^n$

推广到矩阵上就是
$e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(A)^n$
而对于反对称矩阵 $\phi^{\wedge}$
$e^{\phi^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\phi^{\wedge})^n$
我们知道对于矩阵的无穷次幂一般没法计算。但对于这个特殊的反对称矩阵，我们可以进行一些推导，因为 $\phi$ 是一个三维向量，于是我们可以定义他的模长和方向，分别记为 $\theta$ 和 $a$ ,其中 $||a||=1$ 是,于是我们有 $\phi=\theta a$
由于 $a^{\wedge}$ 是反对称矩阵
反对称矩阵的介绍可以点击这里
即反对称矩阵具有如下性质
$a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$ 其中 $a$ 为单位向量
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$ 其中 $a$ 为单位向量
于是有
$e^{\phi^{\wedge}}=e^{\theta a^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\theta a^{\wedge})^n$
$=I+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2a^{\wedge}a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^3+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^4+...$
$=aa^T-a^{\wedge}a^{\wedge}+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2a^{\wedge}a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^3+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^4+\frac{1}{5!}\theta^5(a^{\wedge})^5+...$
$=aa^T-(a^{\wedge})^2+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2(a^{\wedge})^2-\frac{1}{3!}\theta^3a^{\wedge}-\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^2+\frac{1}{5!}\theta^5a^{\wedge}+...$
$=aa^T+(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\frac{1}{7!}\theta^7+...) a^{\wedge}-(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4-\frac{1}{6!}\theta^6+...)(a^{\wedge})^2$
$=a^{\wedge}a^{\wedge}+I+sin\theta a^{\wedge}-cos\theta(a^{\wedge})^2$
$=(1-cos\theta )a^{\wedge}a^{\wedge}+I+sin\theta a^{\wedge}$
$=(1-cos\theta )(aa^T-I)+I+sin\theta a^{\wedge}$
$=cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge}$
这和罗德里格斯旋转公式一致
也就是说，也就是说，任意的一个李代数so(3)中的旋转向量的指数映射刚好对应了一个位于SO(3)中的旋转矩阵
反之，我们也可以用对数映射，将SO(3)中的旋转矩阵对应到李代数so(3)的旋转向量中
具体的公式如下：
$R=e^{\phi^{\wedge}}=cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge}$
两边同时求迹
$tr(R)=cos\theta tr(I)+(1-cos\theta )tr(aa^T)+sin\theta\cdot tr(a^{\wedge})$
$=3cos\theta+(1-cos\theta )$
$=(1-2cos\theta )$
于是 $\theta =arccos(\frac{tr(R)-1}{2})$
至于 $a$ ,我们知道 $Ra=a$ ,所以只要求解 $R$ 的特征值为 $1$ 的特征向量就是对应的 $a$
自此, $\theta$ 和对应的 $a$ 都有了，那么就得到了 $\phi=\theta a$
另外对数映射
$\phi=ln(R)^{\vee}=\Big(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}(R-I)^{n+1}\Big)^{\vee}$
------------ps：关于 $lnx$ 的泰勒展开先留个坑

se(3)指数映射到SE(3)
$se(3)$ 的元素
$\xi^{\wedge}=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
首先
$(\xi^{\wedge})^2=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
$(\xi^{\wedge})^3=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^3&(\phi^{\wedge})^2\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
$\vdots$
$\vdots$
$(\xi^{\wedge})^n=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^n&(\phi^{\wedge})^{n-1}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$

则 $se(3)$ 上的指数映射为
$e^{\xi^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\xi^{\wedge})^n$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^n$

$=I+\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^2+\frac{1}{3!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^3+...$

$=I+\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{3!}\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^3&(\phi^{\wedge})^2\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+...$

$=I+ \begin{bmatrix} \phi^{\wedge}+\frac{1}{2!}(\phi^{\wedge})^2+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^3+... &\Big(I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...\Big)\rho \\0^T&0 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} I+\phi^{\wedge}+\frac{1}{2!}(\phi^{\wedge})^2+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^3+... &\Big(I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...\Big)\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

其中 $\phi=\theta a$ ， $a$ 为单位向量
其中 $J=I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...$
对 $J$ 进行化简
$J=I+\frac{1}{2!}\theta a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^2(a^{\wedge})^2+...$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2 a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^2+...\Big)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2 a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^2+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^3+\frac{1}{5!}\theta^5(a^{\wedge})^4+\frac{1}{6!}\theta^6(a^{\wedge})^5+...\Big)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2-\frac{1}{4!}\theta^4+...\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{3!}\theta^3-\frac{1}{5!}\theta^5+...\Big)(a^{\wedge})^2$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4+...)\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5+...)\Big)(a^{\wedge})^2$

$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-sin\theta\Big)(a^{\wedge})^2$
同样，我们有 $a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$
于是 $=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-sin\theta\Big)(aa^T-I)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)(aa^T-I)$
$=\frac{sin\theta}{\theta}I+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)aa^T+\Big(\frac{1-cos\theta}{\theta}\Big) a^{\wedge}$

里
$T=e^{\xi^{\wedge}}=\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

其中 $J=\frac{sin\theta}{\theta}I+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)aa^T+\Big(\frac{1-cos\theta}{\theta}\Big) a^{\wedge}$

这叫做 $se(3)$ 到 $SE(3)$ 的指数映射
同样的，我们来尝试得到 $SE(3)$ 到 $se(3)$ 的对数映射
尝试对等式两边取迹
$tr(T)=tr(\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix})$
$=tr(e^{\phi^{\wedge}})+1$
$=tr(R)+1$
$=tr(cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge})+1$
$=3cos\theta+(1-cos\theta )+1$
$=2cos\theta+2$
于是
$\theta=arccos\frac{tr(T)-2}{2}=arccos\frac{tr(R)-1}{2}$
同样 $Ra=a$ 求出 $a$
于是 $\phi=\theta a$ 以及 $\rho=tJ^{-1}$

下面是关于 $SO(3),so(3)$ 以及 $SE(3),se(3)$ 的指数和对数映射的图表，可以有一个完整的认识，

image.png

最后编辑于：2022.06.22 16:30:10

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文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
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港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,867评论 5赞 368
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,695评论 1赞 282
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,064评论 3赞 399
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,705评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 42,915评论 1赞 300
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,677评论 2赞 323
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
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活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
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日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
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男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
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一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
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情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
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代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
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