一、绪论

1.1 材料力学的基本任务

1 研究对象：变形固体——>构件——>杆件
2 研究内容
1）强度：构件抵抗破坏的能力。（破坏：构件发生断裂、产生明显塑性变形）
2）刚度：构件抵抗变形的能力。（变形：明显的弹性变形）
3）稳定性：构件保持稳定的平衡状态的能力。

1.2 材料力学的基本假设

1.2.1 基本假设

1 连续性假设

用来制造构件的材料是连续分布的，中间没有缺陷和空隙。

2 均匀性假设

用于制造构件的材料在材质上是均匀分布的。

3 各向同性假设

材料在各个方向上表现出来的力学性能是相同的。（例如木头和许多复合材料就不是各向同性的，需要用其他理论解决）

1.2.2 小变形问题

1）材料力学要研究变形、计算变形
2）变形与构件的原始尺寸相比很小
3）受力分析按照构件的原始尺寸、原始位置计算

1.2.3 基本变形

四种基本变形：拉压、扭转、弯曲和剪切

二、轴向拉伸和压缩

2.1 轴向拉伸和压缩的概念

1 变形特点

轴线方向伸长或缩短，横向缩短或伸长。（工程上常把发生拉压变形的构件叫做杆件）

2 杆件发生拉压变形的条件

1 几何形状：构件是等直杆

• 构件轴线是笔直的
• 横截面形状和尺寸不变，也可以分段等直（阶梯状杆件）
  
  
  2 受力特点：外力（或其合力）的作用线与轴线重合
  此时，若等直杆两端受拉力，则为拉杆；若等直杆两端受压力，则为压杆。

工程上，对构件的设计要满足以下要求：安全（强度、稳定性要求）、经济、好用（刚度要求）、美观。

2.2 轴力和轴力图

轴力

受力分析：

外力分析：

1. 集中力及其作用点（判断作用点是否在分离体上）；
2. 分布载荷（一定长度内连续分布的力，若分布集度不变，则称为均布荷载）及其集度。
   步骤：取分离体、求解约束反力、杆件切断（取杆件横截面）求分离体内力

例题

轴力：拉压杆沿横截面切断后暴露出来的内力。有正负，对杆件拉力为正，压力为负。用表示。
外力：没有正负之分，只有实际作用的方向之分。
注意：求解内力时用到两套符号系统。一是轴力本身的符号系统，即拉力为正，压力为负，位置内力求解统一假设为拉力（正向）。二是与外力一起列平衡方程时，取某一个方向的力为正，反方向力为负。（这两套符号系统彼此不干涉，即在列平衡方程时不要再考虑轴力的正负，只考虑其方向，并根据方向在力前添加正负号）

轴力图

根据受力分析计算的轴力画出轴力图，横坐标轴位杆件轴向，纵坐标轴表示轴力大小。

例题

轴力图

根据轴力图可以看出，在长度为时轴力发生了突变，这是由于集中力以及求解轴力方法（取分离体、列平衡方程）引起的。在实际工程中，应当是在一小段位置轴力发生渐变。在杆件两端也存在同样的问题。
集中力：作用在很小范围内的分布力，只是将其简化为作用在某一点的力，理想当中的集中力实际中并不存在。

关于轴力图的讨论

• 在没有载荷作用的区段，轴力图为水平线（轴力不发生变化）
• 在集中力作用截面上，轴力图发生突变，突变幅度为在该截面上集中力的代数和
• 均布载荷作用的区段，轴力图为斜直线
• 计算截面不应取在集中力作用截面上
• 荷载不能平移（与理论力学不同，理论力学研究的是力对刚体的作用，而研究内力不能对荷载进行平移）

2.3 拉压杆的应力

1 应力的概念

杆的强度：与轴力、横截面尺寸有关
应力：杆件横截面各个点所受内力
正应力(Normal Stress)：与其作用面垂直的应力，用表示

正应力

2 拉（压）杆横截面上的应力

平面假设

原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，且仍垂直于轴线

重要推论

横截面上每根纵向纤维的变形相同，横截面上每个点的受力相同，应力均匀分布。

其中，正应力的单位是：

例题

轴力是针对一个横截面的，而应力是针对横截面上单独一个点的。

应力集中的概念

的适用条件：

1） 拉压变形的平面假设成立。
2） 在集中载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。
3） 对工程中大多数横截面形状都适用，但对于平截面假设不成立的某些特定截面，上述公式不适用。

应力集中

集中力作用区域，靠近集中力的地方应力大，远离集中力的地方应力小，这样的现象叫做应力集中。随着集中力的分散，应力集中现象会有所缓解。除此之外，横截面突变区域也会发生应力集中现象。

应力集中

圣维南原理

力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
实际工程中，不去考虑应力集中现象

例题

2.4 许用应力和强度条件

强度条件

强度条件：，其中为杆件内最大的工作应力，为材料强度指标，又称许用正应力，即材料所能承受的最大正应力。

强度分析主要有三类问题：

1 强度校核问题（验证强度条件是否成立）：

2 截面设计（从强度方面考虑，设计杆件直径）

3 计算许可荷载

2.5 拉压杆的变形

1 拉（压）杆的纵向变形

纵向变形：
根据实验结果可得：
拉压胡克定律：

• 拉压胡克定律只能在线弹性范围内使用。
• 比例常数称为弹性模量，单位与应力相同。是类似于密度等的一种反映材料力学性能的性能参数，表示材料的软硬程度，越大，表示材料越硬。称为拉压刚度，反映的是一根杆件的性能指标。
• 计算长度内，都应是常数。
• 是长度为内的杆件所受的力（拉力或压力，杆件两端力相等，可直接使用轴力）

例题1

分段累加法

力的叠加法

若在杆件上施加一组力，要求轴力或者变形，可以对力/载荷进行分类，每组都是一组力，对每组力所求的轴力或变形最后进行叠加，可以得到整体的轴力或变形。

• 变形与位移：变形与位移都与位置的改变有关。
  变形：形状的变化，针对某个物体而言。
  位移：位置的移动，可以针对物体、点、截面而言。（针对物体时，物体本身不变形或变形量忽略不计）
• 物体有变形，一般物体上点会有位移
  物体没有变形，物体上点不一定没有位移
  物体上一点位移为零，不一定物体变形为零（可能叠加后点位移为零）

例题2

均布载荷下的变形量

根据这个例题可以看出，对于均布载荷作用下的拉压杆，求解变形量时分子就是轴力图与坐标轴所围成的面积。（对于集中力作用下的拉压杆同理）

例题3——桁架结点位移的计算：作图法（杆件变形与桁架位移的几何关系）

首先将杆件的变形量加至杆件轴向，杆件2本应变形至，杆件1本应变形至，但由于受到光滑铰链约束的限制，两杆件末端都可绕铰链转动，根据几何约束求解节点的位移，这里将小角度的转动近似为沿切线方向运动（即直角三角形），最终点由于杆件变形，移动至新的位置

2 刚度条件

不等式左边是杆件或结构在实际荷载作用下产生的变形或位移，不等式右边是允许发生的变形或位移上限。

• 刚度问题涉及的三种问题：刚度校核、满足刚度条件的截面设计、满足刚度条件的许用载荷计算

3 线应变

，有正负，反映了拉伸和压缩变形；也有正负，反映了拉伸线应变与压缩线应变。
相对变形（线应变）能反映受力和变形的程度，以及荷载作用效果。

• 各部位变形程度不同的杆件，线应变要分别计算
• 若把各部位变形与受力程度不同的杆件整体计算线应变，求得的是平均线应变，实际意义不大

计算线应变例题

4 拉压杆的横向变形

是横向变形因素或泊松比，类似弹性模量，是一个材料力学性能指标，是一个常数。
垂直于轴线的横截面内，任意两点之间线段的变形关系均符合横向变形规律。

例题

2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能

力学性能：材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。
材料的力学性能取决于：内部结构（材料的品种），所处外部环境（温度、构件形状尺寸、加载速度）
讨论常温、静载、轴向拉压变形条件下的力学性能

低碳钢应力应变曲线&拉伸过程四个阶段的变形特征与应力特征点

进入强化阶段后，杆件的变形就包括了塑性变形和弹性变形两部分，在这个阶段卸载，弹性变形可恢复（应力应变曲线沿虚斜线），塑性变形不可恢复。

• 低碳钢拉伸时的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、破坏阶段
• 低碳钢拉伸时三个强度指标：比例极限、屈服极限、强度极限
• 塑性指标：平均塑性伸长率、断面收缩率
  

低碳钢压缩时应力应变曲线

为得到残余线应变为0.2%的卸载点(位于强化阶段)对应的应力值即为名义屈服极限

铸铁拉伸&压缩时的曲线

安全系数·许用应力

许用应力（一种材料不发生破坏的条件下所能承受的极限应力）：

• 其中是安全系数，即从安全的角度让材料的强度有所保留 。对于脆性材料，安全系数一般取，甚至；对于塑性材料，安全系数可以取低一点，之间。
• 极限应力：对于脆性材料（塑性变形很小），取其强度极限；对于塑性材料（强化阶段就已经产生较大的塑性变形，即满足强度条件的被破坏），取其屈服极限

七、应力状态和强度理论

7.1 平面应力状态的应力分析

一、斜截面上的应力

利用单元体分析受力体内一点的受力情况

分析杆件内一点受力：在杆件内某点周围取一尺寸无穷小的六面体，即单元体（用单元体来代替受力体中一点），将该点在杆件内实际受力情况画在单元体上后得到的图形称为该点的应力状态。（受力状态是用来表示受力体中一点受力情况的模型）

拉压杆应力状态

扭转应力状态

剪切应力状态

斜截面上一点应力分析

应力状态分析与构件内力计算的异同

二、应力圆

应力圆

利用应力圆求斜截面应力

• 应力圆圆周上的点与单元体的斜截面一一对应。
• 单元体上夹角为的两个斜截面，在应力圆圆周上对应的点夹角为，反之亦然
• 
  
  
  

  类似最初的单元体，取对应应力圆任意一个直径，可以绘制出对应的应力状态（对应单元体以及受力），这无数个应力状态都描述了构件中同一点的受力情况

三、主平面和主应力

• 单元体上切应力为零的斜截面称为主平面
• 作用在主平面上的正应力称为主应力
• 应力圆上的两个主应力：一个极大值，一个极小值
• 可以求主平面倾角

空间应力状态

一、三种应力状态

空间应力状态：某点的单元体六面都有正应力和切应力，多见于壳体结构。但是在这个应力状态中，可以找到一个特殊方位的单元体，在这个单元体中，六面切应力都等于零，即这三组相互平行的面都是主平面，这样的单元体称为主单元体。

主单元体与其三个主应力

三种应力状态

三种应力状态

单向应力状态

平面应力状态

三向应力状态

三向应力圆

二、最大切应力

最大切应力作用面方位

7.2 应力与应变的关系

一、各向同性材料的广义胡克定律

在线弹性、小变形的条件下，正应力与切应力产生的变形性质不同，且互相不耦合。可以将单元体所受应力分为两组，一组只有正应力作用，使互相平行的两面只有距离变化、夹角不变；一组只有切应力作用，使面与面距离不变，夹角变化。即正应力与切应力各自产生各自的变形，互不影响。

广义胡克定律

广义胡克定律另一种形式

平面应力状态下的胡克定律

单向应力状态下的胡克定律

平面应力状态下的胡克定律分析

二、各向同性材料的体积应变

各向同性材料体积应变公式

根据图可以看出，在线弹性、小变形的条件下，正应力会使材料体积发生变化，因此拉压杆的体积会有变化，切应力作用下的主单元体积应变为零，因为切应力只会使两组面夹角发生变化，而不使距离发生变化。

三、小结

双向正应力（平面应力状态）

单向正应力

线应变与正应力方向不对应

当线应变与正应力方向不对应时，要求出对应方向的正应力大小，即求解斜截面应力，可以利用公式或者应力圆求解。

7.3 强度理论

一、强度理论研究

强度理论研究策略

两种破坏形式：

1 脆性破坏

1. 破坏前没有明显的塑性变形
2. 大多数脆性材料发生脆性破坏
3. 铸铁在三向等值受压时不发生脆性破坏

2 塑性破坏

1. 破坏前发生明显的塑性变形
2. 大多数塑性材料发生塑性破坏
3. 低碳钢在三向等值受拉时不发生塑性破坏

二、四个常用的强度理论

1 最大拉应力理论（第一强度理论）

破坏原因：一点处的拉应力达到了材料所能承受的最大拉应力
破坏条件： ，是指材料做单向拉伸时的强度极限
强度条件：
适用对象：脆性破坏，

2 最大伸长线应变理论（第二强度理论）

破坏原因：一点处的伸长线应变达到了材料所能承受的最大伸长线应变
破坏条件：，即，是指材料做单向拉伸时的最大的伸长线应变
强度条件：
适用对象：脆性破坏，

3 最大切应力理论（第三强度理论）

破坏原因：一点处的切应力达到了材料所能承受的最大切应力
破坏条件：，即，是指材料做单向拉伸时的最大的切应力
强度条件：
适用对象：塑性破坏，材料拉压性能相同时成立

4 最大歪形能理论（第四强度理论）

破坏原因：一点处所集聚的歪形能达到了材料所能承受的最大歪形能
破坏条件：，即，是指材料做单向拉伸试验时所集聚的最大的歪形能
强度条件：
适用对象：塑性破坏，材料拉压性能相同时成立

三、相当应力

四、强度理论的应用

第三、第四强度理论的应力分量表达式

应力分量表达式

例题——根据强度理论选择材料

五、强度理论与最大应力方法比较

低碳钢拉伸

低碳钢压缩

低碳钢扭转

铸铁扭转

低碳钢梁