非线性微分方程：定性理论
庞加莱受Hill工作启发，为研究支配行星运动及行星、卫星轨道稳定性的微分方程的周期解开辟了新的途径。因为有关方程是非线性的，庞加莱于是研究非线性方程，之前已出现了一些非线性常微分方程，如黎卡提方程、摆动方程、变分法的欧拉方程。解非线性方程还没有找到普遍方法。
运动方程不能用已知函数明显解出，因此稳定性问题不能通过考察解的性态解决。于是庞加莱寻找考察微分方程本身能回答问题的方法，他称之为微分方程的定性理论。他把理论表述在1881-1886年的四篇论文中，用他的话来说，他要寻求答案的问题是：动点是否描出一密闭曲线？是否永远留在平面某一部分内部？用天文学的话说，轨道是稳定的还是不稳定的？
庞加莱从形为dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的非线性方程出发，其中P、Q对x、y解析，选择这个形式的原因是：1、由于行星运动的某些问题，2、庞加莱认为这是他要研究的类型中最简单的数学模型。该方程的解有f(x,y)=0的形式，定义一个轨道系统时可以考虑参数形式x=x(t),y=y(t)代替f(x,y)=0。
庞加莱在分析方程所有可能解的类型时发现，微分方程的奇点（使P,Q同时为0的点）起关键作用。这些奇点在富克斯意义下是不确定的或不规则的，这里庞加莱继续布里奥和布凯的早期工作，但他不只是研究在奇点邻域内解的性质，而是限制在实值并宁可研究整个解的性质。他把奇点分为四类，并阐述在奇点附近的性态。
第一类奇点是焦点。如下图中原点，当t从-∞变到∞时，解环绕原点盘旋并趋向于原点。这种类型的解被认为是稳定的。第二类奇点是鞍点，如下图中原点，轨道趋近于该点又远离，两条分角线是轨道的渐近线，这种运动是不稳定的。第三类奇点叫结点，是无穷多个解互相交叉的点。第四类奇点叫中心，被若干闭轨道围绕，一个闭轨道包含另一个轨道，这些轨道都包含着中心。
庞加莱发现可能有一些闭曲线不与任何满足微分方程的曲线相接触，他把这些闭曲线称为无接触环。一条满足微分方程的曲线与无接触环的交点不能多于一个，即如果它跨过该环，就不能再次跨过该环，如果这种曲线是行星轨迹，也表示不稳定的运动。
庞加莱还发现了另一种闭曲线，他称为极限环。它们是满足微分方程的闭曲线。其它解渐近地趋向它们（即永远达不到极限环），这种趋向可以发生在极限环C内或极限环C外。庞加莱对dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)型微分方程确定了其极限环和存在区域。如果轨道曲线趋向极限环，运动是稳定的，如果运动方向离开极限环，那么极限环外的运动是不稳定的，而在环内的运动是一条收缩螺线。
庞加莱在第三篇论文中研究了高次和形如F(x,y,y')=0（F是x,y,y'的多项式）的一阶方程。他把x,y,y'看作三直角坐标，并考虑由微分方程定义的曲面。如果这曲面有亏格0（球状），那么积分曲线性质与一次微分方程的情况相同，其它亏格的曲面，得到的积分曲线结果大不相同，比如对一个环管有多种情况。庞加莱未完成该研究，在第四篇论文中他研究了二阶方程，得到了某些类似一阶方程的结果。
庞加莱在研究微分方程解类型的同时，还考虑针对三体问题更普遍的结论。他考虑微分方程组
用小参数μ的幂展开Xi，并假定方程组对μ=0有一个已知的周期为T的周期解xi=Φi(t)，i=1,2,...,n。他企图找出这个周期解。对三体问题，Hill已发现周期解的存在性，而庞加莱利用了这一事实。
对于三体问题的周期解，庞加莱搞了很多工作，他首先推广了柯西关于常微分方程组的解的早期工作，然后证明了他要找的周期解的存在性。他假设两个小质量物体（质量小于太阳）围绕太阳在同一平面的两个同心圆上运动，得到了这样的解。假定μ=0时轨道都是椭圆，且物体周期是可公度的，就可以得到其它解，利用这些解和庞加莱对方程组建立的理论，他得到了其它周期解。他的结论是证明了有无穷多个初始位置和初始速度使得三星体相互间的距离是时间的周期函数（这样的解也叫周期解）。
庞加莱在1890年的论文中引用了方程组dxi/dt=Xi(x1,...,xn,μ)周期解和殆周期解等结论，其中包含一类新发现的解，他把这种解称为渐近解，渐近解又分成两类，第一类解当t趋向于-∞或＋∞时，解渐近地趋于周期解；第二类解由二重渐近解组成，即t趋于-∞和+∞时解趋于周期解。这种二重渐近解有无穷多个。
庞加莱对太阳系稳定性的工作仅取得了部分成果，稳定性仍然未得到解决，事实上月球轨道是否稳定也是如此，今天大多数科学家认为它是不稳定的。
dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)解的稳定性可用特征方程法分析，所谓特征方程是
其中(x0,y0)是方程奇点，按俄国数学家李雅普诺夫（Alexander Liapounoff，1857-1918）的定理，在(x0,y0)邻域内稳定性依赖于特征方程的根，他对可能出现的情况做了细致的分析，包括了比庞加莱结果更多的类型。李雅普诺夫关于稳定性问题的工作一直延续到20世纪早期，他认为基本结果是当且仅当特征方程关于n的根都有负实部时，方程所有解才是稳定的。
庞加莱引入拓扑论证法推进了非线性方程的定性研究。为了描述奇点性质，他引入了指数的概念。考虑一奇点P0和围绕它的一条简单闭曲线C，在C与方程dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的解的每个交点上，有轨道的一个方向角Φ（取值为0-2π），如果一个点逆时针沿C移动，Φ值变大，当点在C上走完一圈后Φ值为2πI，I是一个整数或0（因为轨道的方向角已经转回到原值），量I是曲线的指数。可证明：包含几个奇点的闭曲线的指数是它们指数的代数和，闭轨道的指数是+1
轨道性质由特征方程确定。仅知道微分方程即可确定曲线指数I，可证明
庞加莱后，本迪克松(Ivar Bendixson,1861-1935)关于dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)方程解进行了一项有意义的工作。他提供了一个准则证明某区域内没有闭轨道存在，若δQ/δx+δP/δy在区域D内同号，那么方程在D中没有周期解。
1901年本迪克松提出庞加莱-本迪克松定理，提供了判定dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)存在一个周期解的准则，如果P与Q在-∞<x，y<∞内有定义且是正则的，又如果当t趋于∞时，解x(t),y(t)永远保持在(x,y)平面的有界区域内且不趋于奇点，那么微分方程至少存在一条闭曲线解。
庞加莱开启的非线性方程研究在各个方面拓展了。与19世纪开始的另一个课题有关：富克斯研究的线性微分方程奇点固定，且被微分方程系数确定，到非线性方程下，奇点可能随初始条件变动，称为可去奇点。例如方程y'+y^2=0有一般解y=1/(x-c)，c是任意的，在解中奇点位置依赖于c值。富克斯发现了可去奇点的现象，之后许多人做了可去奇点的研究和具有或不具有可去奇点的二阶非线性方程的研究，其中比较出名的是潘勒韦(Paul Painlevé,1863-1933)。【搜了下他还当过法国总理，这也太强了吧，真实干一行爱一行……还和莱特兄弟一起坐飞机，他的儿子Jean Painleve是纪录片导演，拍了些科普纪录片】对许多形如y''=f(x,y,y')的二阶方程类，它们的解需要新的超越函数类，现在叫做Painleve函数。
20世纪人们对非线性方程的兴趣更强烈了，它的应用从天文学扩展到通讯、服务机构、自动控制系统和电子学，研究也从定性阶段发展到定量阶段了。
