【矩阵】19、逆矩阵的定义及可逆条件

逆矩阵的定义及可逆条件.png

一、练习答案

1、
$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right)$

$B=\left( \begin{array}{cccc} a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{31}+a_{11}&a_{32}+a_{12}&a_{33}+a_{13} \end{array} \right)$

$P_{1}=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0& 1 \end{array} \right) \quad P_{2}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&0& 1 \end{array} \right)$

以下哪个选项正确？
（1） $AP_{1}P_{2}=B$
（2） $AP_{2}P_{1}=B$
（3） $P_{1}P_{2}A=B$
（4） $P_{2}P_{1}A=B$

答： $P_{1}$ 是单位矩阵第一行和第二行互换，行变换为左乘， $P_{2}$ 是第三行加第一行，还是行变换，为左乘，排除(1)(2)。(3)是先左乘 $P_{2}$ 再左乘 $P_{1}$ ，即对A进行先加后换，A可以变成B，(4)是先左乘 $P_{1}$ 再左乘 $P_{2}$ ，即对A进行先换后加，A的最后一行变为 $a_{31}+a_{21}$ ，最后一行与B不一致即A不可以变成B，故(4)错误。

2、 $\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&-2&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ \end{array} \right) =？$

$=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 3&0&9&6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&-2&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccc} 2&-19&8&2 \\ 2&16&-2&12 \\ 3&-18&9&6 \\ \end{array} \right)$

3、
$设r(A_{4 \times 3})=2,B= \left( \begin{array}{cccc} 1&0&2 \\ 0&2&0 \\ -1&0&3 \end{array} \right) ，求r(AB).$

$\because r(B)=3,\ \therefore B满秩，\therefore r(AB)=r(A)=2$

二、知识点

1、逆矩阵的定义

$\forall a \neq 0,\exists a^{-1},$ $使aa^{-1}=a^{-1}a=1$

$\forall 矩阵A \neq O, ?\exists矩阵B，使$

$AB=BA=E$

例如： $A= \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&0\\ \end{array} \right)$ ，假如有 $B= \left( \begin{array}{cccc} a&b \\ c&d\\ \end{array} \right)$ ，使得AB=BA=E

$\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&0\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} a&b \\ c&d\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} a&b \\ 0&0\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&1\\ \end{array} \right)$

$\Rightarrow 0=1$ 这是不可能的

并非所有的非零方阵都有矩阵B，使得AB=BA=E

定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B使AB=BA=E.
则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。

2、逆矩阵的性质

(1) 逆阵惟一。A的逆记为： $A^{-1}$ (读作A的逆，整体符号，不可写成分母 $A^{-1} \neq \frac {E}{A}$ ,)
设B，C都是A的逆，则B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C

(2) 并非每个方阵都可逆。

1.方阵满足什么条件时可逆？
2.可逆时，逆阵怎样求？

复习：伴随矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$

$A^{*}=\left( \begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\ \end{array} \right)$

$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，且 $AA^{*}=A^{*}A=\left | A \right |E$
A的行列式不等于零时，即为可逆。
定理：n阶方阵A可逆的充要条件是 $A \neq 0.$

由：

image.png

两边同除以A和A的行列式，上下相约得：

A^{-1}=\frac {1}{\left | A \right|}A^{*}

$证：“\Rightarrow” 由A可逆知AA^{-1}=E,两边取行列式$

$\left | AA^{-1} \right|=\left | A \right |\left | A^{-1} \right |=\left | E \right |=1$

$\Rightarrow\left | A \right | \neq0$

$“\Leftarrow”由\left | A \right | \neq 0, \quad AA^{*}=A^{*}A=\left | A \right |E$

$\Rightarrow A(\frac{1}{\left | A \right |}A^{*})=(\frac{1}{\left | A \right |}A^{*})A=E$

$\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^{*}$

$A可逆 \Leftrightarrow A非奇异 \Leftrightarrow A满秩$

$例1.求 A=\left( \begin{array}{cccc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right) 的逆。(ad-bc \neq 0)$

$解：A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^{*}=\frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cccc} d&-b \\ -c&a \\ \end{array} \right)$

$? A=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&-1 \\ -3&2&1 \\ 2&0&1 \end{array} \right) 的逆怎么求？还用公式吗？$

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&\cdots&0&0 \\ a&1&0&\cdots&0&0 \\ a^{2}&a&1&\cdots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots \\ a^{n-1}&a^{n-2}&a^{n-3}&\cdots&a&1 \\ \end{array} \right) 的逆怎么求？$

答：可用公式，但是太麻烦，需要另找方法。

三、练习

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ -1&1 \\ \end{array} \right) ，A^{-1}=？$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&-2 \\ 3&1 \\ \end{array} \right) ，B^{-1}=？$

$C=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3 \\ 1&4 \\ \end{array} \right) ，C^{-1}=？$

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1 \\ 2&1 \\ \end{array} \right) ，A^{-1}=？$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1 \\ 1&-2 \\ \end{array} \right) ，B^{-1}=？$

$C=\left( \begin{array}{cccc} 2&-2 \\ 0&1 \\ \end{array} \right) ，C^{-1}=？$

最后编辑于：2021.04.12 21:15:53

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