常数项级数

第一节常数项级数的概念和性质

1、无穷级数

2、部分和数列

例题一：

解题技巧：我们用到的也就是高中所学的裂项消和法。首先，我们先把这个式子分开来， $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 。然后导入值求和为 $(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} ) +(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) +(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} ) +……+(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ) = 1+ \frac{1}{n+1}$ ,因为是趋向于无穷大，所以最后的值为1.

例题二：

解题思路：我们先把式子转换一下： $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1})$ 。代入未知数得出 $\frac{1}{2}[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) +……+ (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) ] = \frac{1}{2} [\frac{1}{1}- \frac{1}{2n+1} ] = \frac{1}{2}$

收敛级数的基本性质

三、级数收敛的必要条件

例题一

解题思路：级数收敛那么通项就是等于0。所以 $1-u_{n} = 0 \Leftrightarrow u_{n} = 1$

例题三

解题思路：根据级数收敛的必要条件，我们先看看通项 $\lim_{x\to∞} \frac{2n}{n+1} = 2$ .所以他是一个发散性

第二节常数项级数的审敛法

1、正项级数发散性的判定。（前提条件就是一定要为正项级数）

例题二

解题步骤： $\frac{n}{3n+1} < \frac{n}{3n} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3^n}\Leftrightarrow 收敛\Leftrightarrow 因为\frac{n}{3n+1}^{n} < \frac{1}{3^n} ,所以{3n+1}^{n} 也是收敛$

2、比较审敛法的极限形式：（前提条件就是一定要为正项级数）

例题一：

解题：我们可以先把 $nu_{n}变成除数的关系即是\frac{u_{n}}{\frac{1}{n} } 。因为值是为k。所以是同敛散。有因为\frac{1}{n}是发散型。所以u_{n}也是发散型$

例题二

解题分析：我们可以用比较收敛的方法。把该式子，变成一个分式。

3、比值审敛法

注意：适用于含有 $a^n, n^n, n!$

例题一

$\sum_{n = 1}^n \frac{n}{2^n} = \lim_{x\to∞} \frac{U_{n+1}}{U_{n}} = \lim_{x\to∞} \frac{n+1}{2^{n+1}} * \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{n} * \frac{2^n}{2^{n+1}} = 1*\frac{1}{2} = \frac{1}{2} <1$

$\sum_{n= 1}^∞ \frac{10^n}{n!} = \lim_{x\to ∞} \frac{U_{n}+1}{U_{n}} = \lim_{x\to ∞} \frac{10^{n+1}}{(n+1)!} *\frac{n!}{10^n} = \frac{10^{n+1}}{10^n} *\frac{n!}{(n+1)!} = 10*\frac{1}{n+1} = 0 <1$

$\sum_{n = 1}^∞ \frac{2n+1}{3^n} = \lim_{x\to ∞} \frac{U_{n}+1}{U_{n}} = \lim_{x\to ∞} \frac{2(n+1)+1}{3^{n+1}}*\frac{3^n}{2n+1} = \lim_{x\to ∞} \frac{2(n+1)+1}{2n+1}*\frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{2}{2n+1}*\frac{1}{3} = 0 <1$

例题二

解题技巧：这是有两部分组成，第一部分一看就知道是收敛性，第二部分需要用到比值审判法。然后就可以看出想加得出是什么性。

例题三：

解题思路：这里用到的是比值审敛法。但是前提条件一定要记住，一定是正项级数。

交错级数敛散性的判定

例题一：

解题技巧：看类型，是一种交错级数敛散性的判定。所以能不能满足他的两个条件

3、绝对收敛与条件收敛

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常数项级数

第一节常数项级数的概念和性质

1、无穷级数

2、部分和数列

例题一：

例题二：

收敛级数的基本性质

三、级数收敛的必要条件

例题一

例题三

第二节 常数项级数的审敛法

1、正项级数发散性的判定。（ 前提条件就是一定要为正项级数 ）

例题二

2、比较审敛法的极限形 式：（前提条件就是一定要为正项级数）

例题一：

例题二

3、比值审敛法

注意：适用于含有

例题一

例题二

例题三：

交错级数敛散性的判定

3、绝对收敛与条件收敛

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