向量的点乘和叉乘,以及几何意义
所谓点乘(也常称作内积),数学定义如下:
a.点乘的具体几何意义:
根据公式,我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ
所以:c·c=a·a+b·b- 2abcos(θ)
向量的点乘满足分配率:a·(b+c)=a·b+a·c
c=a - b
c·c=(a -b)·(a - b)
c·c=(a·a-2a·b+b·b)
(a·a - 2a·b + b·b)=a²+b²- 2abcos(q)
约掉a·a=a²,b·b=b²;-2a·b= -2abcos(θ)
a·b=abcos(θ)
因为a=|a|
所以a·b=|a| |b|cosθ
跟据这个公式,我们能拿到两个向量之间的夹角,这对于判断两个向量是否同一方向,是否正交(也就是垂直),很有用处。具体判断如下:
a·b>0方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a·b=0正交
a·b<0方向基本相反,夹角在90°到180°之间
所 以,点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角,以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致,这在3D中很有用处。比如:3D技术中的光栅化(光栅化的 任务是为了绘制每个三角形单元,如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值)过程中,我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面,如果不 是,那么只要光栅化其中需要显示出来的一面,而另一面我们就不用光栅化它(因为我们根本看不到被遮住的面),这样就节省了很多很多计算,能加快效率。
向量的叉乘(也叫做叉积)
为什么是这样,上面已经说过,规定就这样。
同样,我们给出叉乘的几何解释:
在3维几何中,我们可以一眼看出来,叉乘的结果也是一个向量,而且这个向量不是一般的向量
在2维集合中,axb等于由向量组成的平行四边形的面积
总之:向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面,三角形,或者多边形的向量。