导数

定义

$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}=f'(x_0)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ：因变量增量

$\Delta x$ ：自变量增量

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ ：平均变化率

左导数： $f'_+(x_0)=lim_{ x \to x_0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

右导数： $f'_-(x_0)=lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)=A\Leftrightarrow f'(x_0)=A$

存在

具体函数：用定义，凑 $f'(x_0)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

抽象函数：

1、若 $\Delta x$ 恒正或恒负，则推不出 $f'(x)$ 存在

2、若分子做差的两项中未有 $f(x_0)$ 出现，则推不出 $f'(x)$ 存在

求极限

1、计算型定义

已知导数存在，求极限（关键是使分母= $\Delta x$ ）

$f'(x_0)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 用 $x=x_0+\Delta x$ ，进行换元 $f'(x_0)=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$

特殊：

$f'(0)=lim_{ x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ ，若 $f(0)=0$ ，可换成 $lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}$

变形1：分母 $\not =\Delta x$ ，凑 $\Delta x$

变形2：把 $\Delta x$ 隐掉，标配零点

意义

几何意义

切线斜率 $k=y'(x)=tanx$

$y=y(x)$ 在切点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程： $y-y_0=y'(x)(x-x_0)$ ，法线方程： $y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0)$

$y=y(x)$ 在任意切点(x,y)处的切线方程： $Y-y=y'(X-x)$ ，发现方程： $Y-y=-\frac{1}{y'}(X-x)$

x轴截距（y=0带入任意点切线方程）： $x-\frac{y}{y'}$

y轴截距（x=0带入任意点切线方程）： $y-xy'$

物理意义

时间：t，路程：s，速度：v，加速度：a

$v=\frac{ds}{dt}$ , $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$

经济意义

边际成本

导数计算

基本求导公式

C'=0

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha - 1}$

$(e^x)'=e^x$

$(a^x)'=a^x lana$

$(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}$

$(a^x)^{(n)}=(lna)^na^x$

== $(ln\sqrt x)'=(\frac{1}{2}lnx)'=\frac{1}{2}\frac{1}{x}$ ==

== $(ln|x|)'=\frac{1}{x}$ == 无定义点：x=0

== $[ln(x+\sqrt{x^2+a^2})]'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ ==

$[ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$

$(sinx)'=cosx$

$(cosx)'=-sinx$

$(tanx)'=sec^2x$

$secx=\frac{1}{cosx}$

$secx$ 无反函数

$t=secx\to t=\frac{1}{cosx} \to cosx=\frac{1}{t} \to x=arccos\frac{1}{t}$

$sec^2x=1+tan^2x$

$(cotx)'=-scs^2x$

$cscx=\frac{1}{sinx}$

$cscx$ 无反函数

$csc^2x=1+cot^2x$

$(secx)'=secx·tanx$

$(cscx)'=-cscx·cotx$

$(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(arccosx)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ $arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}$

$(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$

$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$

$arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}$

$arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$

$arctane^x+arctane^{-x}=\frac{\pi}{2}$

四则运算

若u,v,w均可导，则

$(u+v+w)'=u'+v'+w'$

$(\sum_{n=0}^\infty u_n(x))'= \sum_{n=0}^\infty n'_n(x)$

$(u-v)'=u'-v'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$(\frac{v}{u})'=\frac{v'u-vu'}{u^2}$

若f可导，g也可导，则f(g(x))仍可导，且

(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)

== $(f^2(x))'=2f'(x)f(x)$ ==

分段函数

非分段点：直接求导

分段点：用导数定义 $f'(x_0)=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

当分段点左右两侧的极限不同，需分别求左右导数

隐函数

定义：

方程，一般形式：F(x，y)=0

求导方法

方程两边对x求导，再解方程

参数方程

参数方程定义： $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases}$ t为参数

星形线： $\begin{cases} x=cos^3t\\ y=sin^3t\end{cases} \ \ \ \ t \in [0,2\pi]$ 关于x轴、y轴轴对称

摆线： $\begin{cases} x=a(t-sint)\\ y=a(1-cost)\end{cases} \ \ \ \ t \in [0,2\pi]$ 关于x= $\pi$ a轴对称

一阶、二阶导数公式

$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}/x'(t)$

反函数

定义

$y=f(x) \to x=g(x)$ 也做 $x=f^{-1}(y)$

一阶/二阶导公式

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'}$

$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y''}{y'^3}$

高阶导数

常见n阶导公式

== $(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^n·a^n·n!}{(ax+b)^{n+1}}(n=1,2,3……)$ ==

$y=x^k\ \ \ \ y^{(n)}(0)=\begin{cases} k!\ \ \ n=k\\ 0\ \ \ n \not = k\end{cases}$

$y=(x-x_0)^k\ \ \ \ y^{(n)}(x_0)=\begin{cases} k!\ \ \ n=k\\ 0\ \ \ n \not = k\end{cases}$

莱布尼兹公式：

$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C^{k}_{n}u^{(k)}v^{(n-k)}=u^{(0)}v^{(n)}+C^1_nu'v^{(n-1)}+C^2_nu''v^{(n-2)}+……+C^{n-1}_nu^{(n-1)}v'+u^{(n)}v^{(0)}$

仅适用于求 $f^{(n)}(0)$

泰勒公式（麦克劳林公式）：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+……+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+……$

设 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=a_n$ ，所以 $f^{(n)}(0)=a_n·n!$

函数奇偶性：

(奇函数)‘=偶函数 (偶函数)’=奇函数

函数周期性：

$f(x)=f(x+T)$

$f'(x)=f'(x+T)$

递推公式法：

抽象函数、有导数关系式，可以从y‘，y'’中推出 $y^{(n)}$

微分计算

定义

若 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，其中A与 $\Delta x$ 无关（A是不含 $\Delta x$ 的式子，A就是f'(x)），则称f(x)在x处可微，其中 $A\Delta x$ 称为f(x)在x处的微分（或线性主部），记作 $dy=A\Delta x$

关系

可导和可微相等， $dy=f'(x)dx$

$limf(x)=A \to f(x)=A+\alpha,lim\alpha=o(x)$

几何意义

导数： $f'(x_0)$ ：切线斜率

微分： $dy\bigg|_{x=x_0}$ ：切线增量

$\Delta y\bigg|_{x=x_0}$ ：曲线增量

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导数

定义

存在

求极限

意义

几何意义

物理意义

经济意义

导数计算

基本求导公式

四则运算

分段函数

隐函数

定义：

求导方法

参数方程

一阶、二阶导数公式

反函数

定义

一阶/二阶导公式

高阶导数

常见n阶导公式

莱布尼兹公式：

泰勒公式（麦克劳林公式）：

函数奇偶性：

函数周期性：

递推公式法：

微分计算

定义

关系

几何意义

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