2011年理数湖南卷题21

分值：13分

如图，椭圆 的离心率为 ， 轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长.

（I）求 的方程；

（Ⅱ）设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 ，直线 分别与 相交于点 .

（i）证明：；
（ii）记 的面积分别为 . 问：是否存在直线 ，使得 ?

请说明理由.

2011年理数湖南卷题21

2011年理数湖北卷题20

分值：14分

平面内与两定点 连线的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹，加上 两点所成的曲线 可以是圆、椭圆或双曲线.

（I）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值的关系；

（Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 , 对应的曲线为 ，设 是 的两个焦点. 试问：在 上，是否存在点 ，使得 的面积 . 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.

2012年理数湖南卷题21

分值：13分

在直角坐标系 中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值.

（I）求曲线 的方程；

（Ⅱ）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 和 . 证明：当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值.

2012年理数湖北卷题21

分值：13分

设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 且 . 当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 .

（I）求曲线 的方程，判断曲线 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为 的直线交曲线 于 两点, 其中 在第一象限，它在 轴上的射影为点 ，直线 交曲线 于另一点 . 是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ? 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.

2013年理数湖南卷题21

分值：13分

过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同直线 , 且 . 与 相交于点, 与 相交于点 , 以 为直径的圆 , 圆 ( 为圆心) 的公共弦所在直线记为 .

（Ⅰ）若 , 证明:

（Ⅱ）若点 到直线的距离的最小值为 , 求抛物线 的方程.

2013年理数湖北卷题21

分值：13分

如图, 已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 且在 轴上, 短轴长分别为 ，过原点且不与 轴重合的直线 与 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 .

（Ⅰ）记 . 和 的面积分别为 和 . 当直线 与 轴重合时, 若 , 求 的值;

（Ⅱ）当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得 ? 并说明理由.

2013年理数湖北卷题21

2014年理数湖南卷题21

分值：13分

如图, 为坐标原点, 椭圆 的左、右焦点分别为 , 离心率为 ；双曲线 的左、右焦点分别为 , 离心率为 . 已知 且 .
（I）求 的方程;
（Ⅱ）过 作 的不垂直于 轴的弦 , 为 的中点. 当直线 与 交于 , 两点时, 求四边形 面积的最小值.

2014年理数湖南卷题21

2014年理数湖北卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多 .记点 的轨迹为 .
（I）求轨迹 的方程;
（Ⅱ）斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 的相应取值范围.

2015年理数湖南卷题20

分值：13分

已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点, 与 的公共弦的长为

（I）求 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与 相交于 两点,与 相交于 两点,且 与 同向.

（i） , 求直线 的斜率；
（ii）设 在点 处的切线与 轴的交点为

证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形.

2015年理数湖北卷题21

分值：14分

一种作图工具如图1所示. 是滑槽 的中点, 短杆 可绕 转动, 长杆 通过 处较链与 连接, 上的栓子 可沿滑槽 滑动, 且 . 当栓子 在滑槽 内作往复运动时, 带动 绕 转动一周( 不动时, 也不动) 处的笔尖画出的曲线记为 . 以 为原点, 所在的直线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系

（I）求曲线 的方程;

（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点. 若直线总与曲线 有且只有一个公共点, 试探究： 的面积是否存在最小值? 若存在, 求出该最小值；若不存在, 说明理由.

2015年理数湖北卷题21图1

2015年理数湖北卷题21图2