李群和李代数

群

定义

一个集合+一种封闭元算的数据结构: $G=(A,.)$ ,集合为A，运算为 $\cdot$

运算规则：

封闭性： $\forall a_1,a_2 \in A,a_1 \cdot a_2 \in A$
结合律： $\forall a_1,a_2,a_3 \in A,(a_1 \cdot a_2) \cdot a_3 = a_1 \cdot (a_2 \cdot a_3)$
幺元： $\forall a_0 \in A,s.t. \forall a \in A, a_0 \cdot a = a \cdot a_0=a$
逆： $\forall a \in A, \exists a^{-1} \in A, s.t. :a \cdot a^{-1}=a_0$

李群

由于特殊正交群 $SO(3)$ 与特殊欧式群 $SE(3)$ 对于加法不封闭，对乘法封闭，所以可以将这两种特殊群看作集合A，然后将群的运算定义为乘法，就是两种李群。

李代数

定义

李代数用来描述李群中局部的性质；李代数由一个集合 $\mathbb{V}$ ，一个数域 $\mathbb{F}$ 以及一个二元运算符 $[,]$ 组成,记为 $(\mathbb{V},\mathbb{F},[,])$

（局部性质的理解：从 $\mathfrak{so}(3)$ 推倒过程中可以看到，前提假设了在 $t_0$ 的领域内，所以是 $t_0$ 局部的性质。）
运算规则：

封闭性 : $\forall X,Y \in \mathbb{V},[X,Y] \in \mathbb{V}$
双线性: $\forall X,Y,Z \in \mathbb{V},a,b \in \mathbb{F}:[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[Z,aX+bY] = a[Z,X]+b[Z,y]$
自反性: $\forall X\in \mathbb{V},[X,X]=0$
雅可比等价: $\forall X,Y,Z \in \mathbb{V},[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$

一个例子： $\mathfrak{g} = (\mathbb{R}^3,\mathbb{R},\times)$ :三维向量，实数域，叉乘运算

李代数 $\mathfrak{so}(3)$

推导

考虑旋转矩阵是时间的函数: $R(t)$ ，
$R(t)R(t)^{T} =I \\ \dot{R(t)}R(t)^T+R(t)\dot(R(t)^T) = 0 \\ \dot{R(t)}R(t)^T = - (\dot{R(t)}R(t)^T)^T$

可以得出 $\dot{R(t)}R(t)^T$ 是一个反对称矩阵，所以：
$\dot{R(t)}R(t)^T = \phi(t)^{\land},\phi(t)\in \mathbb{R}^3$
假设：在t0附近的临域中， $\phi$ 能够保持不变，则：
$\exists \xi >0, \| t-t_0 \|<\xi \\ \dot{R(t)} = \phi(t_0)^{\land} R(t) \\ = \phi_0^{\land} R(t)$

$f'(x) = k f(x) \\ \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \int k dx \\ ln(f(x)) = kx + C\\ f(x) = exp(kx) + D$

$R(t) = exp(\phi_0 ^{\land}t), s.t.\exists \xi>0, |t-t_0|<\xi$
上述 $\phi$ 就是对应 $SO(3)$ 的李代数 $\mathfrak{so}(3)=\{ \phi \in \mathbb{R}^3,\Phi = \phi^{\land} \in \mathbb{R}^{3\times 3} \}$

运算
$\Phi = \phi ^{\land }\in \mathbb{R}^{3\times 3} \\ [\phi_1,\phi_2] = (\Phi_1 \Phi_2-\Phi_2 \Phi_1)^{\vee} \\$

李代数 $\mathfrak{se}(3)$

对应 $SE(3)$ :
$\mathfrak{se}(3) =\{\xi = \left[\matrix{\rho \\ \phi}\right]\in \mathbb{R}^6,\phi \in \mathfrak{so}(3),\xi^{\land} = \left[\matrix{\phi^{\land} &\rho \\0^T &0}\right] \in \mathbb{R}^{4\times 4}\} \\ [\xi_1,\xi_2] = (\xi_1^{\land}\xi_2^{\land}-\xi_2^{\land}\xi_1^{\land})^{\vee}$

指数映射-对数映射

$SO(3)$ 上的指数映射

一个问题：如何表示 $e^{\phi ^{\land}}$
推导：
矩阵指数映射用泰勒级数展开：
$e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}A^n$
所以： $e^{\phi ^{\land}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}{\phi ^{\land} }^n$
考虑采用模+单位向量的方式表示： $\phi = \theta \alpha$
对于单位向量 $\alpha$ 有以下性质：

$\alpha ^{\land} \alpha ^{\land} = \alpha \alpha ^T-I$
$\alpha ^{\land} \alpha ^{\land} \alpha ^{\land} = -\alpha ^{\land}$
所以上式展开为：
$e^{\phi ^{\land}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}{\phi ^{\land} }^n \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (\theta \phi ^{\land})^n \\ =cos\theta I + (1-cos\theta)\alpha \alpha ^T+sin\theta a^{\land}$
$\phi = ln(R)^{\vee} = (\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} (R-I)^{n+1})^{\vee}$

总结：
李群 $SO(3),R \in \mathbb{R}^{3\times 3},RR^T=I,det(R)=1$
指数映射（李代数到李群）： $e^{\theta \alpha ^{\land}} = cos\theta I +(1-cos\theta)\alpha \alpha^T + sin\theta \alpha ^{\land}$
对数映射（李群到李代数）： $\theta = arcos \frac{tr(R)-1}{2},R\alpha = \alpha$
李代数 $\mathfrak{so(3)},\phi \in \mathbb{R}^3,\phi = \theta \alpha$

$SE(3)$ 上的指数映射

$e^{\xi ^{\land}} = \left [\matrix{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\phi ^{\land})^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}(\phi^{\land})^n \rho \\ 0^T & 1}\right] \\ = \left[\matrix{R &J\rho \\0^T &1}\right] \\ =T$
其中：
$J = \frac{sin\theta}{\theta}I + (1-\frac{sin\theta}{\theta})\alpha \alpha^T + \frac{1-cos\theta}{\theta} \alpha ^{\land}$
$t = J\rho$
总结：

李群 $SE(3),T\in \mathbb{R}^{4\times 4},T=\left[\matrix{R&t\\0^T&1}\right]$
指数映射（李代数到李群）： $e^{\xi ^{\land}} = \left[\matrix{e^{\phi ^{\land}}&J\rho\\0^T &1}\right],J = \frac{sin\theta}{\theta}I + (1-\frac{sin\theta}{\theta})\alpha \alpha^T + \frac{1-cos\theta}{\theta} \alpha ^{\land}$
对数映射（李群到李代数）： $\theta = arcos \frac{tr(R)-1}{2}, R\alpha = \alpha,t = J\rho$
李代数 $\mathfrak{se}(3),\xi = [\rho,\phi]^T\in \mathbb{R}^6,\xi^{\land} = \left[\matrix{\phi^{\land}&\rho\\0^T&0}\right]$

李代数求导

BCH(Baker-Campbell-Hausdroff)公式与近似表示

问题： $e^{\phi_1^{\land}}\cdot e^{\phi_2^{\land}} = e^{\phi_1^{\land} + \phi_2^{\land}} ?$
$ln(e^A\cdot e^B) = A+B + \frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}[A,[A,B]] - \frac{1}{12}[B,[A,B]]+...$
由矩阵乘法，会有高次项，所以上述问题不成立；如果当 $\phi^{\land}_1$ 或者 $\phi_2^{\land}$ 是小量时，忽略高次项就可以得到近似表达：
$ln({e^{\phi_1^{\land}}\cdot e^{\phi_2^{\land}}})^{\vee} =\begin{cases} J_l^{-1}(\phi_2)\phi_1 + \phi_2, & \phi_1为小量 \\ J_r^{-1}(\phi_1)\phi_2 + \phi_1, & \phi_2为小量 \end{cases}$
其中：
$J_l =\frac{sin\theta}{\theta}I + (1-\frac{sin\theta}{\theta})\alpha \alpha^T + \frac{1-cos\theta}{\theta} \alpha ^{\land} \\ J_l^{-1} = \frac{\theta}{2} cot\frac{\theta}{2}I + (1-\frac{\theta}{2} cot \frac{\theta}{2})\alpha \alpha^T - \frac{\theta}{2} \alpha^{\land} \\ J_r(\phi) = J_l(-\phi)$

李代数求导

引出：一个优化问题
$z = Tp + w$
其中z为观测值，p是世界坐标系下的点，w是随机噪声;则理想观测值与估计值之间的误差： $e = z-Tp$
N个特征点的优化代价函数： $min_{T} J(T) = \sum_{i=1}^N || z_i - Tp_i ||_{2}^2$ ;求解这个问题的过程中需要对T求导。

对 $\mathfrak{so}(3)$ 求导

一种方式：
$\frac{\partial e^{\phi^{\land}}p}{\partial \phi} \\ =-(Rp)^{\land} J_l$
另一种方式：（扰动模型，左乘）:
对R进行 $\triangle R$ 左乘扰动，右乘会有区别，这里主要以左乘为例：( $\triangle R = e^{\varphi ^{\land}}$ )
$\frac{\partial Rp}{\partial \phi} = lim_{\phi \rightarrow0}\frac{e^{\varphi^{\land}}e^{\phi^{\land}}p - e^{\phi^{\land}}}{\phi} \\ = -(Rp)^{\land}$

对 $\mathfrak{se}(3)$ 求导：

扰动模型方式:( $\triangle T = e^{(\delta \xi)^{\land}},\delta\xi = [\delta \rho,\delta \phi]$ )

补充：矩阵除法求导
$\frac{d\left[\matrix{a\\b}\right]}{d\left[\matrix{x\\y}\right]} \\ =\left[\matrix{\frac{d[a,b]^T}{d\left[\matrix{x\\y}\right]}}\right]^T \\ =\left[\matrix{\frac{da}{dx}&\frac{db}{dx}\\\frac{da}{dy}&\frac{db}{dy}}\right]^T$

参考

视觉slam十四讲[高翔，张涛等著]

最后编辑于：2022.03.08 16:24:20

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