【矩阵】21、逆矩阵的求法3-4

21、逆矩阵的求法3-4.png

一、练习答案

$A=\left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 2&-3&1 \\ 3&-5&-1 \end{array} \right) ，A^{-1}=?$

$(A|E)= \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3&-4&5&1&0&0 \\ 2&-3&1&0&1&0 \\ 3&-5&-1&0&0&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{r_2-\frac{2}{3}r_1}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 3&-4&5&1&0&0 \\ 0&-3+\frac{8}{3}&1-\frac{10}{3}&-\frac{2}{3}&1&0 \\ 0&-1&-6&-1&0&1 \\ \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{ccc|ccc} 3&-4&5&1&0&0 \\ 0&-\frac{1}{3}&-\frac{7}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{3}{3}&0 \\ 0&-1&-6&-1&0&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow[]{3r_2}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 3&-4&5&1&0&0 \\ 0&-1&-7&-2&3&0 \\ 0&-1&-6&-1&0&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{r_3-r_2}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 3&-4&5&1&0&0 \\ 0&-1&-7&-2&3&0 \\ 0&0&1&1&-3&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{-r_2,\frac{1}{3}r}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&-\frac{4}{3}&\frac{5}{3}&\frac{1}{3}&0&0 \\ 0&1&7&2&-3&0 \\ 0&0&1&1&-3&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{r_1+\frac{4}{3}r_2}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&11&3&-4&0 \\ 0&1&7&2&-3&0 \\ 0&0&1&1&-3&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{r_1+\frac{4}{3}r_2}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&11&3&-4&0 \\ 0&1&7&2&-3&0 \\ 0&0&1&1&-3&1 \\ \end{array} \right) \xrightarrow []{r_1-11r_3,r_2-7r_3}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&-8&29&-11 \\ 0&1&0&-5&18&-7 \\ 0&0&1&1&-3&1 \\ \end{array} \right)$

$\therefore A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc|ccc} -8&29&-11 \\ -5&18&-7 \\ 1&-3&1 \\ \end{array} \right)$

二、知识点

1、方法三：用定义

定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。
$性质（iii）AB=E（or BA=E）\Rightarrow B=A^{-1}$
对n阶方阵A，只需找到一个n阶矩阵B，使AB=E或者BA=E就行了。

例4. $A=\left( \begin{array}{cccc} a_{1}&& \\ &\ddots& \\ &&a_{n} \end{array} \right) ,a_{1} \cdots a_{n} \neq 0.求A^{-1}.$

$解：\because \left( \begin{array}{cccc} a_{1}&& \\ &\ddots& \\ && a_{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{a_{1}}&& \\ &\ddots& \\ &&\frac {1} {a_{n}} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 1&& \\ &\ddots& \\ &&1 \end{array} \right) =E$

$\therefore A^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{ a_{1}}&& \\ &\ddots& \\ &&\frac {1}{ a_{n}} \end{array} \right)$

例5：设 $A_{n}$ 满足 $A^{2}-A-2E=O$ ，求证A可逆并求 $A^{-1}$

$\because A^{2}-A=2E \quad \therefore A(A-E)=2E$
$\Rightarrow A \frac{A-E}{2}=E \quad \therefore A^{-1}=\frac {A-E}{2}$

2、方法四：用定义证明B为A的逆。

这类问题是指：对给定的n阶方阵A和B，要证明B为A的逆矩阵，也就是证明等式AB=E成立或者BA=E成立。

例6： $设A^k=0,(k为正整数)，证明：$
$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$

解：
$\because (E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1})$
$=(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1})-(A+A^2+\cdots+A^{k-1}+A^k)$
$=E-A^k=E$

三、练习

1、 $已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A^{3},求(E-A)^{-1}$

2、 $设A，B为n阶方阵，且E-AB与E-BA均可逆，$
$证明（E-BA）^{-1}=E+B（E-AB）^{-1}A.$

最后编辑于：2021.04.13 09:21:06

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